阶 (群论)
在群论这一数学的分支里，阶这一词被使用在两个相关连的意义上：
- 一个群的阶是指其势，即其元素的个数；
- 一个群内的一个元素a之阶（有时称为周期）是指会使得am = e的最小正整数m（其中的e为这个群的单位元素，且am为a的m次幂）。若没有此数存在，则称a有无限阶。有限群的所有元素都有有限阶。
一个群G的阶被标记为ord(G)或|G|，而一个元素的阶则标记为ord(a)或|a|。
例子
[编辑]· e s t u v w e e s t u v w s s e v w t u t t u e s w v u u t w v e s v v w s e u t w w v u t s e
这个群有六个元素，所以ord(S3) = 6。以定义可知，单位元素e的阶为1。s、t和w的平方都为e，所以这些群元素的阶都为2。剩下的，u和v的阶为3，因为u2 = v 且 u3 = vu = e，而v2 = u 且 v3 = uv = e。
阶和结构
[编辑]由一个群或其内之元素的阶可以大致知道群的结构。简略地说，阶的因式分解越复杂，这个群就会越复杂。
若群G的阶为1，则这个群称为平凡群。给定一元素a，则ord(a) = 1若且唯若a为其单位元素。若G内的每一个(非单位)元素和其逆元素相同(故a2 = e)，则ord(a) = 2且因此G会是个阿贝尔群，因为ab=(bb)ab(aa)=b(ba)(ba)a=ba。此一叙述的相反不一定为对；例如，整数同馀6之(加法)循环群Z6为可换的，但数字2的阶为3(2+2+2 = 6 ≡ 0 (mod 6))。
阶两种概念之间的关系如下：若给出一个由a产生之子群
则
对于任一个整数k，会有“ak = e 若且唯若 ord(a) 整除 k”之关系。
一般来说，G的每个子群之阶都会整除G的阶。更精确地来说：若H是G的一个子群，则
- ord(G) / ord(H) = [G : H]
，其中[G:H]是于G内的H之指标，为一整数。此为拉格朗日定理
上述会有一个立即的结论为，一个群的每一个元素之阶都会整除此一群的阶。例如，在上面所示之对称群中，ord(S3) = 6，且其内元素的阶分别为1、2或3。
下面的部份相反对有限群为真：若d会整除一个群G的阶且d为一个质数，则存在一个内G内为d阶的元素(这有时被称为柯西定理)。此一叙述在其阶为合数时并不成立，如克莱因四元群中即不存在一个4阶的元素。这可以用数学归纳法来证明[1]。这个定理的结论包括：一个群G的阶为一个质数p的次方若且唯若对每个在G内的a，ord(a)都是p的某个次方[2]。
若a有无限阶，则a的所有次方也都会有无限阶。若a有有限阶，则对于a的次方的阶会有下列的公式：
- ord(ak) = ord(a) / gcd(ord(a), k)。
特别地是，a和其逆元素a-1会有相同的阶。
并不存在一个将a和b的阶关连到其乘积ab的阶之一般公式。a和b都有著有限阶而ab则有著无限阶的情形还是有可能的。若ab=ba，则至少可知ord(ab)会整除lcm(ord(a),ord(b))。其结论可证明在一个有限阿贝尔群中，若m为所有群元素的阶之中的最大值，则每一个元素的阶都会整除m。
用元素的阶来计数
[编辑]若G是一个有n阶的有限群，且d是n的因数，则G内有d阶的元素个数会为φ(d)的倍数，其中φ为欧拉函数，为不大于d且互质于d的正整数之个数。例如，在S3的例子中，φ(3) =2，且确实有恰好两个3阶的元素。这个定理对为2阶之元素没有什么有用的资讯，因为φ(2) = 1。
与同态的关系
[编辑]群同态会缩减元素的阶：若f: G → H是一个同态，且a是G内一个有限阶的元素，则ord(f(a))会整除ord(a)。若f为单射的，则ord(f(a)) = ord(a)。这通常可以被用来证明在两个给定之离散群中不存在(单射)同态。(例如，不存在一个非当然同态h: S3 → Z5，因为每个在Z5内除了0之外的元素都有著5阶，而不可以整除在S3内有1、2、3阶的元素。)更进一步的结论有共轭元素会有相同的阶。
类方程
[编辑]一个关于阶的重要结论为类方程；其将有限群G的阶连结至其中心Z(G)的阶和其非当然共轭类的多寡：
其中di为非当然共轭类的多寡；其为|G|大于1的纯因数，且会相等于某些G的非当然纯子群的指标。例如，S3的中心为只有单位元素e之当然群，而此方程则读做|S3| = 1+2+3。
公开的问题
[编辑]一些有关群和其元素较深的问题包含在伯恩赛德问题里；有些的问题至今仍然未解。