最大與最小元

  提示：此條目頁的主題不是極大元、極小元、極大值或極小值。

60的因數集$P$，按整除偏序$x|y$畫成哈斯圖。紅色子集$S=\{1,2,3,4\}$有兩個極大元3、4，和一個極小元1，同時也是最小元。但是，$S$沒有最大元。

數學分支序理論中，最大元是某集合中，大於或等於其全體元素的特殊元素。最小元與之對偶，小於等於該集合的任何元素。例如，實數集$\{-3,1,2.5,\pi \}$中，最大元是$\pi$，而最小元是$-3$，但是區間$(0,1)=\{x:0<x<1\}$並無最大元或最小元。

此處「大小」關係除一般實數的大小關係外，也可以是定義在任意集合上的偏序或預序。

嚴格定義

設$(P,\leq )$為偏序集（或預序集亦可），$S$為其子集。若$S$的元素$g$滿足：

對$S$的任意元素$s$，皆有$s\leq g$，

則$g$稱為$S$的最大元（英語：greatest element）。對偶地，若$S$的元素$l$滿足：

對$S$的任意元素$s$，皆有$l\leq s$，

則$l$稱為$S$的最小元（least element）。

由定義，$S$的最大（小）元必定是$S$的上（下）界。且若$P$為偏序集，則集合$S$至多得一個最大元：若$g_{1}$和$g_{2}$皆為最大，則由定義有$g_{1}\leq g_{2}$，又有$g_{2}\leq g_{1}$，由反對稱性得$g_{1}=g_{2}$。所以若有最大元，則必定唯一。若改為預序集則不一定。

整個偏序集$P$的最大最小元又稱為頂（top）和底（bottom）。頂常以符號記作$1$或$\top$，底則是$0$或$\bot$，在有補格和布爾代數等結構中尤為常見。有頂和底的偏序集稱為有界偏序集合。

與極大極小元、上下界之別

集合不一定有最大元，也不一定有上界。即使集合有上界和上確界，也不一定有最大元。舉例，實數系$\mathbb {R}$中，任何正數皆是負數子集$\mathbb {R} ^{-}$的上界，且$0$為其上確界，但是沒有最大元：不存在「最大的負數」。最小元與下界、下確界的關係也類似。最大元又與極大元（maximal element）不同：有極大元的集合不一定有最大元，但偏序集若有最大元，則同時亦是唯一的極大元。最小元與極小元（minimal element）亦不同。

性質

設$(P,\leq )$為偏序集，$S$為其子集。

• 有限全序集的非空子集必有最大最小元。
• $S$若有最大元$g$，則$g$必定是極大元。此時，$S$衹有這一個極大元：對任意極大元$M$，由於$g$是最大元，必有$M\leq g$，從而由$M$極大知$M=g$。所以若$S$有多於一個極大元，則不能有最大元。
• 若$P$滿足升鏈條件，則其子集$S$有最大元若且唯若其恰有一個極大元。
  • 「僅當」：最大元必然是極大元。
  • 「當」：假設$S$有唯一極大元$m$但沒有最大元。因為$m$不是最大，有$s_{1}\in S$與$m$不可比，又$s_{1}$不是極大，所以有某個$s_{2}\in S$滿足$s_{1}<s_{2}$。$s_{2}$與$m$也不可比：若$m<s_{2}$，則與$m$極大矛盾；反之$s_{2}\leq m$又推出$s_{1}<m$，與$s_{1}$、$m$不可比又矛盾。重複以上步驟，可得無窮遞升鏈$s_{1}<s_{2}<\cdots <s_{n}<\cdots$（其中每個$s_{i}$皆與$m$不可比，又非極大），與升鏈條件矛盾。

全序集的最大最小元

假如$\,\leq \,$限制到子集$S$上為全序（如首段附圖的$S=\{1,2,4\}$），則在$S$中，最大元與極大元等價：若$m\in S$為極大，則對任意其他$s\in S$，必有$s\leq m$（$m<s$將與$m$極大矛盾），故$m$是最大元。

所以，全序集中，最大元與極大元兩個概念重合，有時也稱為最大值（maximum），同理最小元與極小元也稱為最小值（minimum）。但上述用法與實值函數論的用法略有出入。研究實值函數時，所謂最大值是函數的值域的最大元，又稱全域最大值、絕對最大值、最大值。而限制到某點鄰域時，對應值域的最大元（等同於極大元）則稱為局域最大值、相對最大值、極大值。最大最小值又合稱最值，極值亦同。

集合$S$的最大最小值分別記作$\max S,\min S$。在格理論或概率論中，為方便運算，會將兩數$a,b$之最大最小值（即其組成二元集的最大最小元）簡記作併$a\vee b$和交$a\wedge b$。換言之：

$a\vee b=\max\{a,b\},\quad a\wedge b=\min\{a,b\}.$

例

例2之哈斯圖

• 實數集$\mathbb {R}$中，全體整數組成的子集$\mathbb {Z}$沒有上界，從而沒有最大元。
• 如圖所示，在集合$\{a,b,c,d\}$上，定義自反關係$\,\leq \,$使$a\leq c,$ $a\leq d,$ $b\leq c,$ $b\leq d.$。則$c,d$皆是集合$\{a,b\}$的上界，但因為不可比較，沒有最小上界。又$a,b$不可比，$\{a,b\}$沒有最大元。
• 有理數集$\mathbb {Q}$中，平方小於2的數所組成的子集$\{q\in \mathbb {Q} :q^{2}<2\}$有上界（如$100$），但沒有最大元，也沒有上確界。
• $\mathbb {R}$中，區間$[0,1)$有上確界$1$而沒有最大元。但區間$[0,1]$有最大元$1$，同時也是上確界。
• $\mathbb {R} ^{2}$配備積偏序時，滿足$0<x<1$（而$y$任意）的二元組$(x,y)$的集合$A$沒有上界，也沒有最大元。
• 但當$\mathbb {R} ^{2}$配備字典序時，$A$有上界$(1,0)$，但仍沒有上確界和最大元。

參見

• 本質上確界和本質下確界
• 始對象和終對象
• 極大與極小元
• 上極限和下極限
• 上界和下界
• 上確界和下確界

參考文獻

• 西岡, 康夫. 数学チュートリアル やさしく語る 確率統計. オーム社. 2013. ISBN 9784274214073 （日語）. 
• 松坂, 和夫. 集合・位相入門. 岩波書店. 1968. ISBN 4-00-005424-4 （日語）. 
• Davey, B. A.; Priestley, H. A. Introduction to Lattices and Order 2nd. Cambridge University Press. 2002. ISBN 978-0-521-78451-1 （英語）.