在公理化集合論 和使用它的邏輯 、數學 和計算機科學 分支中，聯集公理 是 Zermelo-Fraenkel 集合論 的公理 之一。它聲稱對於任何集合
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式語言 中，這個公理讀做：
∀
A
,
∃
B
,
∀
x
:
x
∈
B
⟺
(
∃
y
:
x
∈
y
∧
y
∈
A
)
{\displaystyle \forall A,\exists B,\forall x:x\in B\iff (\exists y:x\in y\land y\in A)}
換句話說：
給定任何 集合
A
{\displaystyle A}
有著 一個集合
B
{\displaystyle B}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
B
{\displaystyle B}
若且唯若 有一個集合
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
並且
y
{\displaystyle y}
A
{\displaystyle A}
因此，這個公理實際上說的是，給定集合
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
外延公理 可知這個集合
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
聯集 ，並指示為
∪
A
{\displaystyle \cup A}
一個集合的聯集是一個集合。 配對公理 與聯集公理一起蘊涵了對於任何兩個集合，都有一個集合精確地包含了這兩個集合的元素。樸素集合論 中兩個集合的聯集 在這裡是這兩個集合的配對集合的聯集，比如集合
{
a
}
{\displaystyle \{a\}}
{
b
}
{\displaystyle \{b\}}
{
{
a
}
,
{
b
}
}
{\displaystyle \{\{a\},\{b\}\}}
{
a
,
b
}
{\displaystyle \{a,b\}}
聯集公理一般被認為是無可爭議的，它或它的等價命題出現在所有可替代的集合論的公理化 中。
注意沒有 對應的交集 公理：
∀
A
,
∃
B
,
∀
x
:
x
∈
B
⟺
(
∀
y
:
y
∈
A
→
x
∈
y
)
{\displaystyle \forall A,\exists B,\forall x:x\in B\iff (\forall y:y\in A\rightarrow x\in y)}
A
{\displaystyle A}
分類公理模式 形成交集 ∩ A 為
{
x
:
∀
y
(
y
∈
A
→
x
∈
y
)
}
{\displaystyle \{x:\forall y(y\in A\rightarrow x\in y)\}}
A
{\displaystyle A}
空集 ，則嘗試如此形成
A
{\displaystyle A}
全集 中所有的集合，而全集的概念對立於 Zermelo-Fraenkel 集合論。）
Paul Halmos , Naive set theory . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded . Springer. ISBN 3-540-44085-2 .
Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 .
