哈密顿图

十二面体中的哈密顿回路

哈密顿图（台湾作漢米頓圖）又稱漢密頓圖，是指存在哈密頓環的無向圖，由哈密顿爵士提出。

定義

下列定義，既適用於無向圖，亦適用於有向圖。

哈密頓路徑

圖的一條路，經過每個頂點恰好一次。

哈密頓環

在一條哈密頓路的基礎上，再有一條邊將其首尾連接，所構成的圈。注意，若有一個哈密頓圈，則移除其任一條邊，皆可得到一條哈密頓路，但反之則不然，即給定一條哈密頓路，不一定能延伸成哈密頓圈，因為該路徑的首尾兩頂點之間，不一定有邊相連。

哈密頓圖

有哈密頓圈的圖。

半哈密頓圖

有哈密頓路，但無哈密頓圈的圖。

哈密頓連通圖

一幅圖，以其任意兩個頂點為起終點，皆存在一條哈密頓路。

哈密頓分解

將邊集分劃成若干個哈密頓圈。

亞哈密頓圖

亞哈密頓圖並非哈密頓圖，但只要移除任何一個頂點，就會變成哈密頓圖。

• 
  非哈密頓圖
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  半哈密頓圖
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  哈密頓圖

性質

哈密尔顿图的必要条件： 若G=(V,E) 是一个哈密尔顿图，则对于V的每一个非空子集S，均有W(G－S) ≤|S|。其中|S|是S中的顶点数，W(G－S)表示图G擦去属于S中的顶点后，剩下子图的连通分支的个数。

充分條件

對歐拉圖而言，有某個充要條件，可用作簡單判定一幅圖是否歐拉圖（歐拉定理）。然而，對於哈密頓圖，並無相應的結果。

不過，仍有一系列越來越鬆的判別條件，能夠斷定一幅圖必定為哈密頓圖。此類定理，最早見於蓋布瑞·狄拉克1952年的研究，其想法直觀，即只要有「足夠多」邊，就能迫得圖有哈密頓圈。用頂點的度推出存在哈密頓圈的定理之中，目前最優的，是1976年邦迪與赫瓦塔爾的定理。

以上是有關無向圖的部分。對於有向圖，相應的定理舉例有Ghouila–Houiri。

狄拉克定理

蓋布瑞·狄拉克於1952年證明以下定理：

$n$個頂點的簡單圖（$n\geq 3$）中，若每個頂點的度皆至少為${\frac {n}{2}}$，則必為哈密頓圖。

歐爾定理

主条目：奧爾定理

设 $G=(V,E)$ 是一个无向简单图，$|V|=n$，$n\geq 3$。若对于任意两个不相鄰的顶点 $u,v\in V$，都有 $u$ 和 $v$ 的度，即 $d(u)$ 与 $d(v)$ 满足 $d(u)+d(v)\geq n$，那么，$G$ 是哈密尔顿图。

此条件由挪威图论数学家奧斯丁·歐爾在1960年给出。

波紹定理

波紹·拉約什證明了幾條有關哈密頓圈的定理。以下具體引用一條1962年的定理，有關連邊少的頂點：

一幅$n$個頂點的完全圖（$n\geq 3$），若滿足：

1. 對所有滿足$1\leq k<{\frac {n-1}{2}}$的整數$k$，度不大於$k$的頂點個數，嚴格小於$k$；
2. 度不大於${\frac {n-1}{2}}$的頂點個數，小於或等於${\frac {n-1}{2}}$；

則必為哈密頓圖。

注意$n$為偶時，條件2已包含於條件1，所以只在$n$為奇數時，條件2才需要分開列出。

應用波紹定理的例子

作為例子，考慮附圖中，具有$6$個頂點的圖。其為哈密頓圖：已經將頂點排列好，使哈密頓圈$H$（以紅色標示）正好是外圈。

• 狄拉克定理不足以證明該圖為哈密頓圖。若要應用狄拉克定理，則所有頂點的度皆要至少為$3$，然而圖中有頂點的度僅為$2$。
• 奧爾定理同樣不敷使用，因為圖中標出的兩個不相鄰頂點$a,b$的度，和僅為$d(a)+d(b)=3+2=5$，但奧爾定理的條件中，至少要有$6$。
• 另一方面，波紹定理能夠斷定該圖必為哈密頓圖，因為只有$0$個度為$1$的頂點，以及$1$個度為$2$的頂點，故已滿足條件1（因為$0<1$且$0+1<2$）。

例子

赫歇爾圖

• 超過2個頂點的完全圖是哈密顿图。$n$階無向完全圖$K_{n}$上，不同的（無向）哈密頓圈有${\frac {(n-1)!}{2}}$個。而若考慮方向，則有$(n-1)!$個有向哈密頓圈。
• $n$個頂點的圖當中，最少邊數的哈密頓圖是循環圖$C_{n}$。任何循環圖皆為哈密顿图。
• 循環賽圖有奇數條（有向）哈密頓路徑。任意（多於兩個頂點的）循環賽圖為哈密頓圖當且僅當其為強連通。
• 任何以柏拉圖立體（凸正多面體）的邊與頂點構成的圖（「1-骨架」）皆為哈密顿图。
• 同樣，棱柱與反棱柱的1-骨架也是哈密頓圖。
• 13種阿基米德立體的1-骨架皆為哈密頓圖，但13種卡塔蘭立體當中，僅有7個的1-骨架是哈密頓圖。.
• 赫歇爾圖（附圖）是眾多不具哈密頓圈的凸多面體1-骨架當中，最小的一個。
• 哈密頓圖的線圖仍是哈密頓圖。
• 歐拉圖的線圖也是哈密頓圖。

哈密顿路径问题

主条目：哈密顿路径问题

寻找哈密顿路径是一个典型的NP-完全问题。后来人们也证明了，找一条哈密顿路的近似比为常数的近似算法也是NP-完全的。

寻找哈密顿路的确定算法虽然很难有多项式时间的，但是这并不意味着只能进行时间复杂度为$O(n\times n!)$暴力搜索。利用状态压缩动态规划，可以将时间复杂度降低到$O(2^{n}\cdot n^{3})$，具体算法是建立方程f[i][S][j]，表示经过了i个节点，节点都是集合S的，到达节点j时的最短路径。每次都按照点j所连的节点进行转移。

參見

• 哈密頓路徑
• 哈密顿路径问题