多連立方體
多連立方體是由一個或是多個立方體互相連結組成的幾何形狀；也是平面多連方塊（也稱多格骨牌或四角系統）的三維版本。多連立方體的應用有索馬立方跟貝德蘭姆立方的組合問題等[1]。
多連立方體的列舉
[编辑]像平面多方塊組合一樣，多連立方體的列舉方式有兩種，分成考慮鏡對稱與不考慮鏡對稱兩種計算方式。例如，6個四連立方體具有鏡像對稱性，一個是手性的，所以考慮鏡對稱有7種、不考慮鏡對稱則有8種四連立方體。[2]多連立方體計算鏡射的方式與多格骨牌不同，因為多格骨牌可以將其翻轉過來形成鏡射像，而多連立方體不能。尤其是在索馬立方就包含了兩種形式的手性四連立方體。
多連立方體可根據它們由多少個立方體單元組成進行分類：[3]
| n | 多連立方體的名稱 | 不考慮鏡對稱 | 考慮鏡對稱 |
|---|---|---|---|
| 1 | 單立方體 monocube |
1 | 1 |
| 2 | 雙立方體 dicube |
1 | 1 |
| 3 | 三連立方體 tricube |
2 | 2 |
| 4 | 四連立方體 tetracube |
8 | 7 |
| 5 | 五連立方體 pentacube |
29 | 23 |
| 6 | 六連立方體 hexacube |
166 | 112 |
| 7 | 七連立方體 heptacube |
1023 | 607 |
| 8 | 八連立方體 octocube |
6922 | 3811 |
多連立方體已被枚舉到十六連立方體（n=16）[4]
多連立方體的對稱性
[编辑]與多格骨牌一樣，多連立方體也可以根據其對稱性來進行分類。多連立方體對稱性（非手性八面體群子群的共軛類）由W·F·倫農（W. F. Lunnon）在 1972 年首次列舉。大多數多連立方體是不對稱的，但許多具有更複雜的對稱群，甚至存在有多達48個元素的立方體全對稱群。其他種類的對稱性也是有可能的，例如七種八重對稱性的可能形式。[2]
五連立方體
[编辑]12個平面的五連立方體與五格骨牌相互對應。其餘17個五連立方體中，5個具有鏡像對稱性，另外12個形成6組手性對。
五連立方體的包圍盒可能的尺寸有5×1×1、4×2×1、3×3×1、3×2×1、4×2×2、3×2×2和2×2×2。[5]
八連立方體與超立方體展開圖
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四維空間的超立方體是三維空間的立方體在四維空間的類比，由8個立方體組成，其可以像立方體展開成六連正方形那樣展開為八連立方體。其中一個展開與立方體較知名的展開圖——展開成拉丁十字的外形類似，他由四個立方體堆疊組成，另外四個立方體附著於四個堆疊立方體的第二個立方體露出的4個面上，形成一個三維空間雙十字的樣式。薩爾瓦多·達利將這種形狀用於其1954的畫作《耶穌受難》上[6]:72[7]，並在羅伯特·海萊因1940年的短篇小說《—且他建造了一座歪曲的房子—》中也有所描述。[8]為了紀念達利，這個八連立方體被稱為達利十字。[9][10]這個八連立方體可以填充空間[9]。
更一般地說，在所有 3811 個不同的自由八連立方體中，有261個是四維超正方體的展開圖。[9][11]
相關條目
[编辑]參考資料
[编辑]- ^ Weisstein, Eric W. (编). Polycube. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2016-07-27]. （原始内容存档于2017-06-29） （英语）.
- ^ 2.0 2.1 Lunnon, W. F., Symmetry of Cubical and General Polyominoes, Read, Ronald C. (编), Graph Theory and Computing, New York: Academic Press: 101–108, 1972, ISBN 978-1-48325-512-5
- ^ Polycubes, at The Poly Pages. recmath.org. [2022-08-12]. （原始内容存档于2021-07-25）.
- ^ Kevin Gong's enumeration of polycubes. [2022-08-12]. （原始内容存档于2013-09-04）.
- ^ Aarts, Ronald M. "Pentacube". From MathWorld. [2022-08-13]. （原始内容存档于2019-09-08）.
- ^ Theoni Pappas, 陳以鴻譯. 《數學放輕鬆》. 臺北縣新店市: 世茂出版社. 2004. ISBN 9577766110.
- ^ Kemp, Martin, Dali's dimensions, Nature, 1 January 1998, 391 (27): 27, Bibcode:1998Natur.391...27K, doi:10.1038/34063
- ^ Fowler, David, Mathematics in Science Fiction: Mathematics as Science Fiction, World Literature Today, 2010, 84 (3): 48–52, JSTOR 27871086,
Robert Heinlein's "And He Built a Crooked House," published in 1940, and Martin Gardner's "The No-Sided Professor," published in 1946, are among the first in science fiction to introduce readers to the Moebius band, the Klein bottle, and the hypercube (tesseract).
. - ^ 9.0 9.1 9.2 Diaz, Giovanna; O'Rourke, Joseph, Hypercube unfoldings that tile and , 2015, Bibcode:2015arXiv151202086D, arXiv:1512.02086 .
- ^ Langerman, Stefan; Winslow, Andrew, Polycube unfoldings satisfying Conway's criterion (PDF), 19th Japan Conference on Discrete and Computational Geometry, Graphs, and Games (JCDCG^3 2016), 2016 [2022-08-12], （原始内容存档 (PDF)于2022-09-18）.
- ^ Turney, Peter, Unfolding the tesseract, Journal of Recreational Mathematics, 1984, 17 (1): 1–16, MR 0765344
