最小相位(minimum-phase)是控制理论及信號處理中有特殊性質的系統,對於线性时不变系统,若本身為因果系统且穩定,且其逆系統也是穩定的因果系统,此系統即為最小相位系統[1][2]。
相反的,非最小相位(non-minimum phase)系統可以用最小相位系統串接全通濾波器,使部份的零點移到右半面。若有零點在右半面,表示其逆系統不穩定。全通濾波器加入了「額外的相位」(有些可能是传送迟延),這也是為何所得系統稱為非最小相位的原因。
例如一個離散系統,其有理傳遞函數若其所有的極點都在單位圓內,此系統為符合因果性的穩定系統。不過此系統的零點可以在單位圓內或是圓外的任意位置。若離散系統的零點也都在單位圓內,則這個系統也是最小相位的系統。以下會說明為何這様的系統會稱為最小相位系統。
逆系統[编辑]
一系統
可逆的條件是可以由其輸出找到唯一對應的輸入,也就是可以找到系統
使得若將
及
二個系統連接,可以得到單位系統
(可以參反矩陣)。
![{\displaystyle \mathbb {H} _{inv}\,\mathbb {H} =\mathbb {I} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d15234e3595215b0634b7b64d8109977e0ef00d)
假設
為系統
的輸入,其輸出為
![{\displaystyle \mathbb {H} \,{\tilde {x}}={\tilde {y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a12d695371634e3c32a0c5ed6c86db33be80f60b)
將
作為逆系統的輸入,可得:
![{\displaystyle \mathbb {H} _{inv}\,{\tilde {y}}=\mathbb {H} _{inv}\,\mathbb {H} \,{\tilde {x}}=\mathbb {I} \,{\tilde {x}}={\tilde {x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cd6cba5a9cb73fa3f5bc65b3f0df626c252bd7e)
因此可以用逆系統
,找到輸出
對應的唯一輸入
。
離散時間的例子[编辑]
假設系統
是離散時間的線性非時變系統(LTI),可以用冲激响应
(n為整數)表示。而且,假設系統
的 冲激响应為
。二個線性非時變系統的級聯為卷積。上述的關係可以以下式表示:
![{\displaystyle (h*h_{inv})(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(k)\,h_{inv}(n-k)=\delta (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d013fdc088c36252c28b729abd08ecb16456c89)
其中
為克罗内克函数或是離散時間下的單位矩陣。注意其逆系統
不一定要是唯一的。
最小相位系統[编辑]
若系統再加上因果性且穩定性的條件時,其逆系統就是唯一的,而且系統
和逆系統
都是最小相位系統。離散系統下因果性及穩定性的條件如下(針對非時變系統,其中的h為系統的沖激響應):
因果性[编辑]
![{\displaystyle h(n)=0\,\,\forall \,n<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/facb1c3a92cfa8705291c804a7e68bca47345961)
及
![{\displaystyle h_{inv}(n)=0\,\,\forall \,n<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2ac10b4bd758de501dc3f3070550f7bef285739)
穩定性[编辑]
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h(n)\right|}=\|h\|_{1}<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3531e157b8eff7a00df542daa833fcd50cf49b95)
及
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h_{inv}(n)\right|}=\|h_{inv}\|_{1}<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea8abe3bbb9c377d92802a5e06e206f7d29e327c)
在有界輸入有界輸出穩定性條目會看到對應連續系統的條件。
頻域分析[编辑]
離散時間系統的頻域分析[编辑]
將最小相位應用在離散時間系統中可以看出一些其中的特性,其時域方程式如下。
![{\displaystyle (h*h_{inv})(n)=\,\!\delta (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/838769d8796c15c03817ed820880391fb75cf264)
進行Z轉換後可以得到以下的關係。
![{\displaystyle H(z)\,H_{inv}(z)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb3c78ca072de1272b88c7792527171462a2a88)
由於上述關係,可得
![{\displaystyle H_{inv}(z)={\frac {1}{H(z)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde468ed43a1cf836e747f028073afa7361d75fd)
為了簡單起見,只考慮有理传递函数 H (z)。因果性及穩定性表示所有的H (z)极点都需要嚴格的在单位圆內(參照有界輸入有界輸出穩定性)。假設
![{\displaystyle H(z)={\frac {A(z)}{D(z)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19fd59457dc0e7a91f89a2ca6a87ccbdf1e13bea)
其中A (z)及D (z)是z的多項式。因果性及穩定性會使得D (z)的零点(根)需要嚴格的在单位圆內(不能在邊界上)。而
![{\displaystyle H_{inv}(z)={\frac {D(z)}{A(z)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/943b746c20f98ca470491782a5852b4856d1c63b)
因此
的因果性及穩定性也會使得為A (z)的零点需要嚴格的在单位圆內,上述二個條件下,最小相位系統的零點及極點都需要在嚴格的在单位圆內。
連續時間系統的頻域分析[编辑]
連續時間系統的分析和離散系統類似,不過會使用拉普拉斯变换,其時域的方程式如下。
![{\displaystyle (h*h_{inv})(t)=\,\!\delta (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961e97d0dfe7d2afd9fdd7bb9421339f415c1650)
其中
為狄拉克δ函数。狄拉克δ函数是連續時間下的恒等算子,因為其和任意信號x (t)都會有篩選性質。
![{\displaystyle \delta (t)*x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-\tau )x(\tau )d\tau =x(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77539194b072486ce880d64f8da0dcd843c55b4f)
進行拉普拉斯变换可得到以下S平面的關係。
![{\displaystyle H(s)\,H_{inv}(s)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5321cb1ce508312365c2f548225c1b778c159b2d)
也可以得到下式
![{\displaystyle H_{inv}(s)={\frac {1}{H(s)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d338a63f4053f5a3b3c2bab042859c01f213fa5a)
為簡化起見,此處也只考慮有理传递函数H(s)。因果性及穩定性表示H (s)的所有极点都要嚴格的在左半S平面(參考有界輸入有界輸出穩定性)。假設
![{\displaystyle H(s)={\frac {A(s)}{D(s)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b0df7baabc5309a8f97a9e8c708f30d2a751ee)
其中A (s)及D (s)是s的多項式。
的因果性及穩定性表示D (s)的所有零點都在左半S平面內,而
![{\displaystyle H_{inv}(s)={\frac {D(s)}{A(s)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20940d39e94e1f3b5c01fcc369e0d0af489aa38c)
的因果性及穩定性表示A (s)的所有零點都在左半S平面內,因此最小相位系統的最有極點及零點都需要嚴格的在左半S平面內。
增益響應及相位響應的關係[编辑]
不論是連續時間或是離散時間的最小相位系統,都有一個常會用到的性質:增益頻率響應的自然對數(增益的對數單位為奈培,和分貝成正比),和頻率響應的相角(單位為弧度)有關,兩者的關係是希爾伯特轉換。在連續時間系統下,令
![{\displaystyle H(j\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ H(s){\Big |}_{s=j\omega }\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e52fac3c351f7df33080b30b82188136030c19c)
是系統H(s)的複數頻率響應。在最小相位系統下,系統H(s)的相位響應和增益響應的關係為
![{\displaystyle \arg \left[H(j\omega )\right]=-{\mathcal {H}}\lbrace \log \left(|H(j\omega )|\right)\rbrace \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd3a6258ef76bdf4183a2f0d56d62fc6f93315db)
以及
.
若用較精簡的方式表示,令
![{\displaystyle H(j\omega )=|H(j\omega )|e^{j\arg \left[H(j\omega )\right]}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{\alpha (\omega )}e^{j\phi (\omega )}=e^{\alpha (\omega )+j\phi (\omega )}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c666eb447f58757582327dd0a6e7f479ccb4bb8)
其中
和
都是實數下的實函數,則
![{\displaystyle \phi (\omega )=-{\mathcal {H}}\lbrace \alpha (\omega )\rbrace \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a2256d57df8aa59902c22f088d4b212aa33baab)
及
.
希爾伯特轉換算子定義為
.
在離散時間系統中也有等效的對應關係。
時域下的最小相位[编辑]
針對所有有相同增益响应的因果穩定系統,最小相位系統的能量最集中在冲激响应的開始處,也就是說最小相位系統最小化了以下的函數(可以視為是冲激响应能量的延遲)。
![{\displaystyle \sum _{n=m}^{\infty }\left|h(n)\right|^{2}\,\,\,\,\,\,\,\forall \,m\in \mathbb {Z} ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78b6ea758f3c45490e5e7e216465d67026e10d56)
最小相位及最小群延遲[编辑]
在所有增益响应相同的因果穩定系統中,最小相位系統的群延遲最小。以下證明可以說明為何該系統有最小的群延遲。
假設考慮传递函数
中的一個零点
,先讓零点
在单位圆內(
),看對群延遲的影響。
![{\displaystyle a=\left|a\right|e^{i\theta _{a}}\,{\mbox{ where }}\,\theta _{a}={\mbox{Arg}}(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/752106d615ac22684232bb59778940535ca82a82)
因為零点
在传递函数中貢獻了
的因子,因此其對相位的貢獻如下:
![{\displaystyle \phi _{a}\left(\omega \right)={\mbox{Arg}}\left(1-ae^{-i\omega }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/862c845423fd555f2643dd3148a338d6daa202c5)
![{\displaystyle ={\mbox{Arg}}\left(1-\left|a\right|e^{i\theta _{a}}e^{-i\omega }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd69d95a857ffce4f905d0430e1817d6728f3c51)
![{\displaystyle ={\mbox{Arg}}\left(1-\left|a\right|e^{-i(\omega -\theta _{a})}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e148e64da1a4fc2ca53eb5648ac26097762df5ce)
![{\displaystyle ={\mbox{Arg}}\left(\left\{1-\left|a\right|cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\left|a\right|sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47a34808ee30856b90377cb6fe4a059813b279c6)
![{\displaystyle ={\mbox{Arg}}\left(\left\{\left|a\right|^{-1}-\cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/339d17661bc6e58d9aaf362663b56b332178189e)
所貢獻的相延遲如下。
![{\displaystyle -{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}={\frac {\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})-\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}{\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})+\left|a\right|^{-2}-2\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4020cf6220c5c34a5ea931a595f48889550ed8d2)
![{\displaystyle -{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}={\frac {\left|a\right|-\cos(\omega -\theta _{a})}{\left|a\right|+\left|a\right|^{-1}-2\cos(\omega -\theta _{a})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d00c183f1ee54fd7271dec0672a1800d18bb39b)
若將零点
移到单位圆外的對應點,也就是
,上式的分母和
都不會變化,而分子的
大小增加,因此讓
在单位圆內可以讓群延遲中
的貢獻最小化。可以將上述結果延伸到超過一個零点的情形,因為
的相位是各項次相位相加的結果,因此,對於有
個零點的传递函数,
![{\displaystyle {\mbox{Arg}}\left(\prod _{i=1}^{N}\left(1-a_{i}z^{-1}\right)\right)=\sum _{i=1}^{N}{\mbox{Arg}}\left(1-a_{i}z^{-1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac0f7775cf07612b84cc025d48e10b4a27164278)
一個所有零点都在单位圆內的最小相位系統可以讓群延遲降到最小,因為每個零点對群延遲的貢獻都降到最小。
上述計算的圖示。上下二部份是相同增益响应的濾波器(左圖為奈奎斯特图,右圖為相位響應),但上方零點
的系統,其相位響應的大小最小
非最小相位系統[编辑]
若系統本身是因果穩定系統,其逆系統具有因果性,但不穩定,原系統即為非最小相位系統(non-minimum-phase)。非最小相位系統和最小相位系統有相同的增益響應,但非最小相位系統的相位貢獻會比最小相位系統要大。
最大相位系統[编辑]
最大相位系統(maximum-phase)是和最小相位系統有相反特性的系統,最大相位系統也是非最小相位系統(系統本身是因果穩定系統,其逆系統具有因果性,但不穩定),而且
- 離散時間系統下的零點都在單位圓外。
- 連續時間系統下的零點都在複數平面的右半邊。
也就是其逆系統所有的極點都不穩定。
此系統稱為最大相位系統的原因是在所有有相同增益響應的系統中,最大相位系統有最大的群延遲。在等增益響應的系統的系統中,最大相位系統有最大的能量延遲。
例如以下是二個連續時間LTI系統的傳遞函數
![{\displaystyle {\frac {s+10}{s+5}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {s-10}{s+5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b416611128343564a84119f72021c1cb1525df)
這二個系統的增益響應相同,但第二個系統相位移的貢獻較大,因此第二個系統是最大相位系統,而第一個系統為最小相位系統。
混合相位系統[编辑]
離散時間下的混合相位系統(mixed-phase)有些零點在單位圓內,有些零在單位圓外,其群延遲不是最小值,也不是最大值。連續時間下的混合相位系統則是有些零點在右半平面內,有些零點在右半平面。
例如連續時間系統
![{\displaystyle {\frac {(s+1)(s-5)(s+10)}{(s+2)(s+4)(s+6)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc3ee8d42005105e2cb81d73a90dc04a8c0eef78)
是因果穩定系統,但有零點在左半平面,也有零點在右半平面,因此是混合相位系統。
線性相位[编辑]
線性相位(linear-phase)系統的群延遲是定值。非平凡的線性相位系統或是接近線性相位系統都是混合相位系統。
相關條目[编辑]
參考資料[编辑]
延伸閱讀[编辑]
- Dimitris G. Manolakis, Vinay K. Ingle, Stephen M. Kogon : Statistical and Adaptive Signal Processing, pp. 54–56, McGraw-Hill, ISBN 0-07-040051-2
- Boaz Porat : A Course in Digital Signal Processing, pp. 261–263, John Wiley and Sons, ISBN 0-471-14961-6