e的π次方e的π次方 |
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命名 |
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名稱 | 格爾豐德常數 |
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識別 |
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種類 | 無理數 超越數 |
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符號 | ![{\displaystyle e^{\pi }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eefb10ad1f3612be16a802dd913a9edfb5b9d823) |
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位數數列編號 | A039661 |
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性質 |
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連分數 | [23; 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, 2, 34, 1, 16, 1, 30, 1, 1, 4, 1, 2, 108 ...] |
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以此為根的多項式或函數 | ![{\displaystyle x^{i}+1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77b9b91dcce459541a26d15160f030e4eddd1b05) |
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表示方式 |
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值 | 23.140692632779269
![{\displaystyle e^{\pi }=(e^{i\pi })^{-i}=(-1)^{-i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaacf09b00028e08f0d4faf73886b130f4959119)
![{\displaystyle e^{\pi }=(-1)^{\tfrac {1}{i}}={\sqrt[{i}]{-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf16f90a9cb8878716f6109ce562c57a1f30bcc9)
![{\displaystyle e^{\pi }=(i)^{(-2i)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/748af778015dbd1371d052ec37d9edfeabf61df0)
![{\displaystyle e^{\pi }={{1} \over {(i^{i})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be0a7021459ced748fbed666abe3628eba6b9ed2) |
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二进制 | 10111.001001000000010001101110… |
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十进制 | 23.140692632779269005729086… |
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十六进制 | 17.24046EB093399ECDA7489F9A… |
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又稱格爾豐德常數(英語:Gelfond's constant)是一个数学常数。与e和π一样,它是一个超越数。这可以用格尔丰德-施奈德定理来证明,并注意到:
![{\displaystyle e^{\pi }\;=\;(e^{i\pi })^{-i}\;=\;(-1)^{-i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a75b41ac3b6542c77df1d66d3b3f76631d6c2744)
其中i是虚数单位。由于−i是代数数,但肯定不是有理数,因此eπ是超越数。这个常数在希尔伯特第七问题中曾提到过。一个相关的常数是
,又称为格尔丰德-施奈德常数。相关的值
也是无理数[1]。
在十进制中,eπ大约为
![{\displaystyle {{e}^{\pi }}\approx 23.140692632779\dots \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a1db9fb8aa52c52db446366c39bbac471b6a0a6)
它的值可以用以下迭代来求出。定义
![{\displaystyle k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44365d44b7d2377228a75aeca3e594b4cb8d9df5)
其中
则
![{\displaystyle \left({\frac {4}{k_{N}}}\right)^{2^{1-N}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abb01a552e77c766802773f3113eb7dc550cf876)
迅速收敛于
。
几何中的独特之处[编辑]
n维球体的体积由以下公式给出:
![{\displaystyle V_{n}={\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n} \over \Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/494303f8ebb7dfa689bec5a57b1affdfaaa23d96)
所以,任何一个偶数维的单位球具有体积:
![{\displaystyle V_{2n}={\frac {\pi ^{n}}{n!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9695cd63597c239b2e48869d53f8fe08e969328d)
把所有偶数维的单位球的体积加起来,得出:[2]
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}=e^{\pi }.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d489737a0d2d44bceb023c671087bdf1c433f41b)
相似或相關的常數[编辑]
拉馬努金常數[编辑]
![{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=({\text{格 爾 豐 德 常 數 }})^{\sqrt {163}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31381d956a14f4b7583f9660ea83efbc8715d2d)
即所謂的拉馬努金常數,是黑格纳数的一個應用,其中 的 163 是問題中用到的黑格納數。
同 eπ - π 一樣,eπ√163 非常接近整數:
7017262537412640768♠262537412640768743.9999999999992500725971981856888793538563373369908627075374103782106479101186073129... ![{\displaystyle \approx 640\,320^{3}+744}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05f4dc392b2d04b254abf3c17dfc6fbd5762eb9d)
雖然這個數是由法國數學家夏爾·埃爾米特在 1859 年所發現,但印度數學家斯里尼瓦瑟·拉马努金第一個預測它非常接近整數,因而以他為名。
這種非常近似於 6403203 + 744 的巧合,可以用 j-invariant的複數乘法及q展開來表示。
![{\displaystyle j((1+{\sqrt {-163}})/2)=(-640\,320)^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a251fb49e9ea4429735e171c0bfa037f327ae995)
且
![{\displaystyle (-640\,320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceb809bed80e1caeb5f5a363d8bc81a782264a54)
而 O(e-π√163) 是誤差項。
![{\displaystyle {\displaystyle O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)=-196\,884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx -196\,884/(640\,320^{3}+744)\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5b251dd36f1069389f18306b9b9309f11b57b67)
這解釋了為何 eπ√163 比 6403203 + 744 小了 0.000 000 000 000 75 。(這個證明的細節,可以參考黑格纳数)。
數 eπ - π[编辑]
由 A018938 所給出 eπ - π 的十進位表示為
7001199990999791894♠19.9990999791894757672664429846690444960689368432251061724701018172165259444042437848889371717254321516...
儘管這個數非常接近正整數 20 ,但目前沒有關於這個現象的解釋;因此,被認為是一種数学巧合。
數 πe[编辑]
由 A059850 給出的 πe 十進位表示為:
7001224591577183610♠22.4591577183610454734271522045437350275893151339966922492030025540669260403991179123185197527271430315...
目前還不知此數是否是超越數。
須注意的是,根據 格尔丰德-施奈德定理,只有在 a 是代數數,而 b 是非有理數(a,b 都是复数,且 a ≠ 0, a ≠ 1)的情況下,ab 才為超越數。
之所以可以證明 eπ 是超越數,其原因在於複數的指數形式,因為 π 可以被視為複數 eπ 的模,而根據 (-1)-i 的等式,才可以使用 格尔丰德-施奈德定理 。
πe 則沒有如此的等式,所以,儘管 π 和 e 都是超越數,但我們不能由此說 πe 是超越數。
數 eπ - πe[编辑]
如同 πe,我們仍不知 eπ - πe 是否是超越性質的。甚至,目前還沒有證明說它是無理數:
由 A059850 給出的 eπ - πe 十進位表示為:
6999681534914418223♠0.6815349144182235323019341634048123526767911086035197442420438554574163102913348711984522443404061881...
數 ii[编辑]
![{\displaystyle i^{i}=(e^{i\pi /2})^{i}=e^{-\pi /2}=(e^{\pi })^{-1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a209ce1275bbb0261eb1d7312285f834b42dca)
由
A059850給出的 ii 十進位表示為:
6999207879576350761♠0.2078795763507619085469556198349787700338778416317696080751358830554198772854821397886002778654260353...
因為上述等式,可用格尔丰德-施奈德定理證明格爾豐德常數的平方根倒數也是超越的:
i 是代數數,但同時不是有理數,由此ii 是超越數。
参考文献[编辑]
- ^ Nesterenko, Y. Modular Functions and Transcendence Problems. Comptes rendus de l'Académie des sciences Série 1. 1996, 322 (10): 909–914.
- ^ Connolly, Francis. University of Notre Dame
外部链接[编辑]