狄利克雷特征

在解析数论及代数数论中，狄利克雷特征是一种算术函数，是$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$的特征。它用来定义L函数。两者都是由狄利克雷在1831年为了证明狄利克雷定理而引进。

定义

狄利克雷特征指有下面性质、由整数到复数的函数：

• 存在正整数k使得对于任意n都有χ(n) = χ(n+k)
• 对于任意m,n，χ(mn) = χ(m) χ(n)
• χ(1)=1

首个条件说明特征是一个以k为周期的函数，其余两个条件说明它是完全积性函数。

如果特征的周期不是1，由周期性和完全积性可知，特征的值若非单位根便是0。当且仅当gcd(n,k)>1，χ(n)=0。

例子

• 实特征指值域为实数的特征，它的值只限于 $\{-1,0,1\}$。
• 若一个特征对于所有与k互质的整数的值都为1，则称为主特征。
• 若p为素数，勒让德符号(n|p)便是狄利克雷特征的例子。

参考

• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 Chapter 6.