自然密度

自然密度（英语：natural density），又称渐进密度（英语：asymptotic density），是数论中度量自然数子集大小的工具之一。

简介

以平方数集和自然数集的大小关系为例：

平方数集与自然数集都是可数无穷集，我们能够在两个集合间建立一一映射（对于任意的自然数$n$都可以找到对应的平方数$n^{2}$与之对应，反之亦然），即两个集合是等势的。

然而，这种基于基数的大小比较违反了自然数多于平方数的直观认识，因为所有平方数都是自然数，而却有许多自然数不是平方数，且随着自然数的增大平方数会变得越来越稀少。通过将这种度量集合大小的直觉严格化，可以得到自然密度这一概念。

考虑自然数的一个子集$A$和整数区间$[1,n]$：

如果从整数区间$[1,n]$中随机选取一个整数，那么这个整数属于$A$的概率应该等于$A$与整数区间$[1,n]$的交集中的所有元素在整数区间$[1,n]$中的占比。当$n$趋近于无穷时，若上述概率也趋近于某个极限，则将该极限定义为$A$的自然密度。

$A$的自然密度也可以被理解为：任取一个自然数，该自然数属于$A$的概率。

自然密度（以及一些其他类型的密度）也是概率数论的研究对象。

与施尼勒尔曼密度不同，并不是任何自然数的子集都有自然密度。这是自然密度的一个不足之处。

定义

对于一个自然数集的子集$A$，当$n$趋向于无穷时，若$A$中不大于$n$的元素个数与$n$的比值收敛到$\alpha$，则称$A$的自然密度为$\alpha$。

更进一步，若定义$a(n)$为$A$里不大于$n$的元素个数，那么命题“$A$的自然密度为$\alpha$”等效于：

${\frac {a(n)}{n}}\to \alpha$，当$n\to \infty$

从定义中可以看出，若$\alpha$是某个集合$A$的自然密度，则一定有$0\leq \alpha \leq 1$。

上自然密度

设$A$ 是自然数集$\mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}$的一个子集。对任何$n\in \mathbb {N}$，定义$A(n)=\{1,2,\ldots ,n\}\cap A$，$a(n)=|A(n)|$。

则$A$的上自然密度（英语：upper asymptotic density）为：

${\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}$

其中$\limsup$是上极限。 ${\overline {d}}(A)$也可简称为$A$的上密度。 

下自然密度

同样地，定义A的下自然密度（英语：lower asymptotic density）为：

${\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}$

自然密度的其他定义方法

1. 由上自然密度和下自然密度的定义，我们也可以说$A$的自然密度$d(A)$是：

若${\overline {d}}(A)={\underline {d}}(A)$，则$d(A)$等于${\overline {d}}(A)$（或${\underline {d}}(A)$ ） 。

2. 自然密度的定义还可以表示为：

$d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}$（若极限存在）

3. 可以证明，下述命题也是自然密度的定义：

若将自然数集$\mathbb {N}$的子集$A$写作一个递增数列：

$A=\{a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{n}<\ldots ;n\in \mathbb {N} \}$

那么

${\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}},$

${\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}$

$d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}$（若极限存在）

推广

一个稍弱的密度定义是 上Banach密度（英语：upper Banach density）。对于$A\subseteq \mathbb {N}$，定义$d^{*}(A)$为：

$d^{*}(A)=\limsup _{N-M\rightarrow \infty }{\frac {|A\cap \{M,M+1,\ldots ,N\}|}{N-M+1}}$

性质

• 若对于集合$A$存在$d(A)$，则对于其补集$A^{\complement }$，$d(A^{\complement })=1-d(A)$成立。
• 若$d(A)$，$d(B)$及$d(A\cup B)$均存在，则$\max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}$成立。
• 自然数集的自然密度为$1$，即$d(\mathbb {N} )=1$成立。
• 对于自然数集的任意有限子集$F$, 有$d(F)=0$成立。
• 对于平方数集$A=\{n^{2};n\in \mathbb {N} \}$，有$d(A)=0$成立。
• 对于偶数集$A=\{2n;n\in \mathbb {N} \}$，有$d(A)=0.5$成立。更一般地，对于等差级数组成的集合$A=\{an+b;n\in \mathbb {N} \}$，有$d(A)={\frac {1}{a}}$成立。
• 对于质数集合$P$，由质数定理知：$d(P)=0$成立。
• 无平方数因数的数的集合的自然密度为${\frac {6}{\pi ^{2}}}$。更一般地，无$n$次方因数的数的集合的自然密度为${\frac {1}{\zeta (n)}}$，其中$\zeta (n)$是黎曼ζ函数。
• 过剩数集合具有非零的自然密度。Marc Deléglise在1998年证明了过剩数和完全数的集合的自然密度在0.2474与0.2480之间。
• 所有在二进制表示法中位数为奇数的自然数的集合，即$A=\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\}$，不存在自然密度。这是因为该集合的上自然密度不等于下自然密度。

其上自然密度为：

${\overline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}}$

而其下自然密度为：

${\underline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}$

• 同样，所有十进制表示法中以$1$开头的自然数的集合也不具有自然密度。其上自然密度为${\frac {5}{9}}$而其下自然密度为${\frac {1}{9}}$。
• 对区间[0,1]上的任意Equidistributed序列$\{\alpha _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$，定义单调集族$\{A_{x}\}_{x\in [0,1]}$:

$A_{x}:=\{n\in \mathbb {N} \,:\,\alpha _{n}<x\}$

则依定义有：

对于任意的$x$，$d(A_{x})=x$。

• 若$S$有正的上自然密度，则塞迈雷迪定理表明$S$包含了任意长度的等差数列。Furstenberg–Sárközy定理表明，$S$内一定存在差为平方数的两个元素。

其他密度函数

用类似的方法可以定义出自然数集上的其他密度函数。 例如，集合$A$的对数密度（英语：logarithmic density）可以定义为：

$\mathbf {\delta } (A)=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\in A,n\leq x}{\frac {1}{n}}$（若极限存在）

同样也可以定义对应的上对数密度和下对数密度。

相关条目

• 狄利克雷密度
• 施尼勒尔曼密度

参考

• Nathanson, Melvyn B. Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics 195. Springer-Verlag. 2000. ISBN 0387989129. Zbl 0953.11002. 
• Niven, Ivan. The asymptotic density of sequences. Bulletin of the American Mathematical Society. 1951, 57: 420–434 [2018-10-18]. MR 0044561. Zbl 0044.03603. doi:10.1090/s0002-9904-1951-09543-9. （原始内容存档于2020-08-21）. 
• Steuding, Jörn. Probabilistic number theory (PDF). 2002 [2014-11-16]. （原始内容 (PDF)存档于December 22, 2011）. 
• Tenenbaum, Gérald. Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 46. Cambridge University Press. 1995. Zbl 0831.11001.