三分之一角公式

三分之一角公式，为三角恒等式的一种，是三等分角问题在代数上的一个解。由于该解不一定是规矩数因此也可以证明三等分角尺规作图的不可行性 。

尺规作图

尺规作图三等分角已被证实不可行，其也与三分之一角公式非规矩数的推导有关，其证明如下：设可以用尺规作图将任意角三等分，代表对任意角度是$\theta$的角，均可以由尺规作图得到 角度为${\frac {\theta }{3}}$的角。这等价于说在已知单位长度和$\cos {\theta }$的时候能做出$\cos {\frac {\theta }{3}}$的长度。设L是包含了$\cos {\theta }$和单位长度1的域。用尺规作图可以得到$z=\cos {\frac {\theta }{3}}$，说明域扩张的阶数是2的幂次：

$[\mathrm {L} (z):\mathrm {L} ]=2^{s}$

然而根据三倍角公式：

$\cos \theta =4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}=4z^{3}-3z$。

运用多项式的知识可以证明，$z$在L中的最小多项式的阶数必定不大于3，也就是说是1，2或者3。比如说当角度$\theta =60^{\circ }$时，L就是$\mathbb {Q}$（$\cos {\theta }={\frac {1}{2}}\in \mathbb {Q}$）三倍角公式变成：

$4z^{3}-3z=\cos {60^{\circ }}={\frac {1}{2}}$，即是：

$8z^{3}-6z-1=0$

这个多项式不可约，所以这个方程的解不属于有理数集$\mathbb {Q}$，所以可以证明$[\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=3$。然而3不是2的幂次，这和之前的结论矛盾。如此便说明，无法用尺规作图将任意角三等分。$\Box$

而上述三次方程透过三次方程求根公式求出来的解即为三分之一角公式。

公式

• 利用三倍角公式
• $\sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta \,$
• $\cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \,$

把它改为：

• $\sin \theta =3\sin {\frac {\theta }{3}}-4\sin ^{3}{\frac {1}{3}}\theta \,$
• $\cos \theta =4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {1}{3}}\theta \,$

把$\cos {\frac {\theta }{3}}\,$当成未知数，$\cos \theta \,$当成常数项，解一元三次方程式即可求出

• $x_{1}={\frac {1}{2{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}{2}}\,$
• $x_{2}=-{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{4{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}-{\frac {(1-i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}{4}}\,$
• $x_{3}=-{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{4{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}-{\frac {(1+i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}{4}}\,$
• 当-90°≤$\theta \,$≤90°时$\sin {\frac {1}{3}}\theta =x_{3}=-{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{4{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}-{\frac {(1+i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}{4}}\,$
• 当90°≤$\theta \,$≤450°时$\sin {\frac {1}{3}}\theta =x_{1}={\frac {1}{2{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}{2}}\,$
• 当450°≤$\theta \,$≤630°时$\sin {\frac {1}{3}}\theta =x_{3}=-{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{4{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}-{\frac {(1+i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}{4}}\,$
• 当630°≤$\theta \,$≤990°时$\sin {\frac {1}{3}}\theta =x_{2}=-{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{4{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}-{\frac {(1-i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}{4}}\,$

简化

利用欧拉公式可以有效地简化三分之一角公式

$\cos {\frac {\theta }{n}}=\Re \left({\sqrt[{n}]{\cos \theta +i\sin \theta }}\right)={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{n}]{\cos \theta +i\sin \theta }}+{\sqrt[{n}]{\cos \theta -i\sin \theta }}\right)$

$\sin {\frac {\theta }{n}}=\Im \left({\sqrt[{n}]{\cos \theta +i\sin \theta }}\right)={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt[{n}]{\cos \theta +i\sin \theta }}-{\sqrt[{n}]{\cos \theta -i\sin \theta }}\right)$

所以

$\cos {\frac {\theta }{3}}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\cos \theta +i\sin \theta }}+{\sqrt[{3}]{\cos \theta -i\sin \theta }}\right)$

$\sin {\frac {\theta }{3}}={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt[{3}]{\cos \theta +i\sin \theta }}-{\sqrt[{3}]{\cos \theta -i\sin \theta }}\right)$

参见

• 三等分角