二分法 (数学)

  关于有序数组上的查找算法，请见“二分查找”。

二分法（英语：Bisection method），是一种方程式根的近似值求法。

演算法

若要求已知函数 f(x) = 0 的根 (x 的解)，则:

1. 先找出一个区间 [a, b]，使得f(a)与f(b)异号。根据介值定理，这个区间内一定包含著方程式的根。
2. 求该区间的中点$m={\frac {a+b}{2}}$，并找出 f(m) 的值。
3. 若 f(m) 与 f(a) 正负号相同则取 [m, b] 为新的区间, 否则取 [a, m].
4. 重复第2和第3步至理想精确度为止。

例子

例: 求方程 $\sinh x=\cos x\!$ 的解, 其中 sinh 是双曲正弦、cos 是馀弦 及 x 以弧度量度.

1. 定义 f(x) = $\sinh x-\cos x\!$。因此这里是要求 f(x) = 0 的根。
2. 画出 y = f(x) 可大约得知其根约在 0.5 和 1 之间，故使初始区间的 [0.5, 1]。
3. 此区间之中点为 0.75。
4. 因 f(0.5) ≈ -0.3565, f(0.75) ≈ 0.0906，其正负号不同，故令新区间为 [0.5, 0.75]
5. 又新区间的中点为 0.625, 而 f(0.625) ≈ -0.1445, 与 f(0.5) 正负号相同，故新区间为 [0.625, 0.75]。
6. 不断重复运算即得 f(x) = 0 的根约为 0.7033。

伪代码

二分法可用伪代码表示如下：

输入 f(x) 的定义
输入 a 和 b 为初始区间
输入 e 为目标误差

 REPEAT:
   m:= (a + b) / 2
   IF f(m) * f(a) < 0 THEN
     b := m
   ELSE
     a := m
 UNTIL (b-a) / 2 < e

外部链接

• Bisection Method（页面存档备份，存于互联网档案馆） on Mathcad Application Server.
• Bisection Method Notes, PPT, Mathcad, Maple, Matlab, Mathematica
• True example of using bisection method in computer programming free program to isoelectric point calculation

参见

• 介值定理