布拉菲晶格

在几何学以及晶体学中，布拉菲晶格（又译布拉菲点阵）(Bravais lattices)是为了纪念法国物理学家奥古斯特·布拉菲而命名的。是三维空间中由一个或多个原子所组成的基底所形成的无限点阵，每个晶格点上都能找到这样同样的基底，或者说定向移动整数倍到另一个点时也能找到同样的基底，因此晶格在任何一个晶格点上看起来都完全一样。三维布拉菲晶格只有14种可能。

如果两个布拉菲晶格具有同构对称群，则通常认为它们是等价的。从这个意义上讲，在 2 维空间中存在 5 种可能的布拉菲晶格，在 3 维空间中存在 14 种可能的布拉菲晶格。布拉菲晶格的 14 个可能的对称群是 230 个空间群中的 14 个。在空间群分类的背景下，布拉菲晶格也称为"布拉菲类"、"布拉菲算术类"或"布拉菲聚类"(Bravais flocks)^[1]。

布拉菲晶格的发展

这14种布拉菲晶格可分成7种晶系，每种晶系又可依中心原子在晶胞中的位置不同再分成6种晶格：

简单（P）：晶格点只在晶格的八个顶点处
体心（I）：除八个顶点处有晶格点外，晶胞中心还有一个晶格点
面心（F）：除八个顶点处有晶格点外，在六个面的中央还有一个晶格点
底心（A，B或C）：除八个顶点处有晶格点外，在晶胞的一组平行面（A，B或C）的每个面中央还有一个晶格点

7种不同晶系与每种晶系的6种不同晶格共有7 × 6 = 42种组合，但是有些组合其实是相同的，都能组成14种布拉菲晶格。例如，单斜晶系的体心晶格可以通过单斜晶系的底心（C）晶格选择不同的晶轴得到，所以这两种其实是同一种；同样，所有的底心（A）、底心（B）晶格都相当于底心（C）或简单（P）晶格。因此，去除相同的组合，可以得到14种不同的布拉菲晶格，列于下表（晶格图下方是代表该布拉菲晶格的皮尔逊符号，表中空白的格表示于已有的晶格重复）：

晶系	点阵常数特征	布拉菲晶格
晶系	点阵常数特征	简单（P）	底心（C）	体心（I）	面心（F）
三斜晶系	a≠b≠c，α≠β≠γ≠90°
单斜晶系	a≠b≠c，α=γ=90°≠β
斜方晶系（正交晶系）	a≠b≠c，α=β=γ=90°
四方晶系	a=b≠c，α=β=γ=90°
三方晶系（棱方晶系）	a=b=c，α=β=γ≠90°
六方晶系	a=b≠c，α=β=90º，γ=120°
等轴晶系（立方晶系）	a=b=c，α=β=γ=90°

每一个单位晶格的体积可以由 $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \times \mathbf {c}$ 计算得知。其中 $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ ,和 $\mathbf {c}$ 是晶格向量。各种布拉菲晶格的体积如下：

晶系	体积
三斜晶系	$abc{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}$
单斜晶系	$abc\sin \alpha$
斜方晶系	$abc$
四方晶系	$a^{2}c$
三方晶系	$a^{3}{\sqrt {1-3\cos ^{2}\alpha +2\cos ^{3}\alpha }}$
六方晶系	${\frac {{\sqrt {3\,}}\,a^{2}c}{2}}$
等轴晶系	$a^{3}$