等差數列

等差數列，又名算術數列（英語：Arithmetic sequence），是數列的一種。在等差數列中，任何相鄰兩項的差相等，該差值稱為公差（common difference）。

例如數列：

3, 5, 7, 9, 11, 13, ...

就是一個等差數列。 在這個數列中，從第二項起，每項與其前一項之公差都相等。

性質

如果一個等差數列的首項記作 a₁，公差記作 d，那麼該等差數列第 n 項 a_n 的一般項為：

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

換句話說，任意一個等差數列 {a_n} 都可以寫成

$\{a\,,\,\,a+d\,,\,\,a+2d\,,\,\cdots \,,\,\,a+(n-1)d\}$

在一個等差數列中，給定任意兩相連項 a_n+1 和 a_n ，可知公差

$d=a_{n+1}-a_{n}$

給定任意兩項 a_m 和 a_n ，則有公差

$d={\frac {a_{m}-a_{n}}{m-n}}$

此外，在一個等差數列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之和，為原來該項的兩倍。舉例來說，a₁ + a₃ = 2a₂。

更一般地說，有：

$a_{n-1}+a_{n+1}=2a_{n}$

證明如下：

${\begin{aligned}a_{n-1}+a_{n+1}&=[a+(n-2)d]+(a+nd)\\&=2a+(2n-2)d\\&=2[a+(n-1)d]\\&=2a_{n}\\\end{aligned}}$

證畢。

從另一個角度看，等差數列中的任意一項，是其前一項和後一項的算術平均：

$a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}$

此結果從上面直接可得。

如果有正整數 m, n, p, q，使得 $m+n=p+q$，那麼則有：

$a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}$

證明如下：

${\begin{aligned}a_{m}+a_{n}&=[a+(m-1)d]+[a+(n-1)d]\\&=2a+(m+n-2)d\\&=2a+(p+q-2)d\\&=[a+(p-1)d]+[a+(q-1)d]\\&=a_{p}+a_{q}\\\end{aligned}}$

由此可將上面的性質一般化成：

$a_{n-k}+a_{n+k}=2a_{n}$

$a_{n}={\frac {a_{n-k}+a_{n+k}}{2}}$

其中 k 是一個小於 n 的整數。

給定一個等差數列 $\{a_{n}\}$，則有：

• $\{b+a_{n}\}$ 是一個等差數列。
• $\{b\cdot a_{n}\}$ 是一個等差數列。
• $\{b^{a_{n}}\}$ 是一個等比數列。
• $\{{\frac {b}{a_{n}}}\}$ 是一個等諧數列。

從等差數列的一般項可知，任意一個可以寫成

$a_{n}=p+qn$

形成的數列，都是一個等差數列，其中公差 d = q，首項 a = p + q。

等差數列和

一個等差數列的首 n 項之和，稱為等差數列和（sum of arithmetic sequence）或算術級數（arithmetic series），記作 S_n。

舉例來說，等差數列 {1, 3, 5, 7} 的和是 1 + 3 + 5 + 7 = 16。

等差數列求和的公式如下：

${\begin{aligned}S_{n}&={\frac {n}{2}}\,(a+a_{n})\\&={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]\\&=an+d\cdot {\frac {n(n-1)}{2}}\end{aligned}}$

等差數列和在中文教科書中常表達為:

一個等差數列的和，等於其首項與末項的和，乘以項數除以2。

公式證明如下：

將等差數列和寫作以下兩種形式：

$S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\dots +[a+(n-2)d]+[a+(n-1)d]$

$S_{n}=[a_{n}-(n-1)d]+[a_{n}-(n-2)d]+\dots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}$

將兩公式相加來消掉公差 d，可得

$\ 2S_{n}=n(a+a_{n})$

整理可得第一種形式。

代入 $a_{n}=a+(n-1)d$，可得第二種及第三種形式。

從上面的第三種形式展開可見，任意一個可以寫成

$S_{n}=pn+qn^{2}$

形成的數列和，其原來數列都是一個等差數列，其中公差 d = 2q，首項 a = p + q。

等差數列積

一個等差數列的首 n 項之積，稱為等差數列積（product of arithmetic sequence），記作 P_n。

舉例來說，等差數列 {1, 3, 5, 7} 的積是 1 × 3 × 5 × 7 = 105。

等差數列積的公式較為複雜，須以Γ函數表示：

$P_{n}=d^{n}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {a}{d}}+n)}{\Gamma ({\frac {a}{d}})}}$

證明如下：

${\begin{aligned}P_{n}&=a\cdot (a+d)\cdot (a+2d)\cdot \cdots \cdot [a+(n-1)d]\\&=d^{n}\cdot \left({\frac {a}{d}}\right)\cdot \left({\frac {a}{d}}+1\right)\cdot \left({\frac {a}{d}}+2\right)\cdot \cdots \cdot \left[{\frac {a}{d}}+(n-1)\right]\\&=d^{n}\cdot {\left({\frac {a}{d}}\right)}^{\overline {n}}\\&=d^{n}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {a}{d}}+n)}{\Gamma ({\frac {a}{d}})}}\\\end{aligned}}$

這裡的 $x^{\overline {n}}$ 為 x 的 n 次上升階乘冪，例子如 $1.1^{\overline {3}}=1.1\times 2.1\times 3.1$ 。

使用上面的例子，對於數列 {1, 3, 5, 7} ：

${\begin{aligned}P_{4}&=2^{4}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}+4)}{\Gamma ({\frac {1}{2}})}}\\&=16\cdot {\frac {11.6317\dots }{1.77245\dots }}\\&=105\end{aligned}}$

結果相等。

參見

• 序列
• 數列
• 級數
• 算術平均
• 等比數列
• 等諧數列

參考文獻

• Bhardwaj, S., Abiy, T., Kulkarni, O., et al. "Geometric Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
• Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
• Weisstein, Eric W. "Geometric Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.