逐點收斂

逐點收歛也稱點態收斂（英語：pointwise convergence，或稱簡單收斂），是數學中描述一組函數序列向一個函數趨近的一種方式（函數趨近極限有其他不同方式，個中差異請小心分辨）。詳細點講，如果這組函數列在定義域中每點的取值都會趨於一個極限值，這時可以用每點的極限來定義這組函數序列的極限函數，被趨近的這個極限函數稱作這個函數序列的逐點極限。在各種收斂中，逐點收斂較容易了解跟想象，但未必能很好地保持函數的一些重要性質，比如說連續性等等。

定義

設 $\{f_{n}\}$ 是一組有相同定義域的函數序列。序列 $\{f_{n}\}$ 逐點收斂當且僅當存在函數 $f$ ，使得在定義域中的每點 $x$ ，都有：

\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x)

這時我們就說序列 $\{f_{n}\}$ 逐點收斂到 $f$ ，或說函數 $f$ 是序列 $f_{n}$ 的逐點極限函數。在英文中也寫作：

\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}=f\ {\mbox{ pointwise}},

性質

與逐點收斂經常一起出現的一個概念是一致收斂（英語：uniform convergence）。一致收歛的定義如下：假設序列 $(f_{n})$ 中的函數跟函數 $f$ 都有相同的定義域 $I$ 。定義函數序列 $(f_{n})$ 一致收斂到 $f$ ，若數列 $a_{n}=\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in I\,\}$ 趨近於零，用符號表示就是： $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ ，換句話講也就是：

\lim _{n\rightarrow \infty }\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in I\;\}=0

兩相比較，一致收斂對於函數趨近的方式限制更大，所以一致收斂的函數序列必然逐點收斂，反之則不然。一個簡單的例子是函數序列 $f_{n}:[0,1]\rightarrow [0,1]$ ，讓 $f_{n}(x)=x^{n}$ ，則 $(f_{n})$ 逐點收斂到（不連續）函數

f(x)={\begin{cases}0&x\in [0,1)\\1&x=1\end{cases}}

,

但並不一致收斂到該函數，因為對每個 $n$ ， $\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in [0,1]\,\}$ 皆為 1，所以

\lim _{n\rightarrow \infty }\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in [0,1]\,\}=1\neq 0

。

這說明了序列 $(f_{n})$ 並不一致收歛。一致收斂能夠保持函數序列的連續性，但逐點收斂不能。如上例，序列 $(f_{n}(x)=x^{n})$ 都在閉區間 $[0,1]$ 上連續，但是 $(f_{n})$ 逐點收斂到的函數 $f$ 並不是連續函數。

逐點收歛不要求序列 $(f_{n})$ 中函數的取值一定是實數，也可以是任何使其定義有意義的拓撲空間。但一致收斂函數的適用範圍則相對較小，比如如果函數序列 $(f_{n})$ 的對應域僅是拓樸空間，那可能一致收歛的定義並無意義，所以一致收歛的對應域一般在度量空間。因為一致收歛定義中表達趨近的部分我們（部分的）利用了距離的概念（絕對值就是距離的概念），在這定義中無法被其他概念取代，相對來說逐點收歛中表達趨近的部分雖然也用了距離概念，但可以用拓樸空間中的開集合來取代，。

拓撲性質

逐點收斂也可以理解為由半範數 $||f||_{x}=|f(x)|\,$ 建立的拓撲。具有這種拓撲的函數組成的空間叫做逐點收斂空間。這個拓撲與乘積拓撲是等價的。如果 $f$ 的定義域和值域都是緊緻的，根據吉洪諾夫定理，這個空間也是緊緻的。

測度論

在測度理論中，對一個可測空間上的可測函數有幾乎處處收斂的概念，也就是說幾乎處處逐點收斂。葉戈羅夫定理說明，在有限測度的集合上幾乎處處逐點收斂，意味着在稍微較小的集合上一致收斂。

參見