黃金矩形

1.6180339887498948...
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黃金矩形是長寬比為黃金比$\varphi$的矩形。

$\varphi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\approx 1.6180339887...$

特性

以黃金矩形短邊為邊長畫一正方形，減去正方形即得小黃金矩形：

設黃金矩形短邊為$b$，長邊$a$為$\varphi b$
若以黃金矩形短邊為邊長畫一正方形，則長邊剩下的長度為

$a-b=(\varphi -1)b=\left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}-1\right)b=\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)b={\frac {2}{{\sqrt {5}}+1}}b={\frac {1}{\varphi }}b$

${\tfrac {a}{b}}$和${\tfrac {b}{a-b}}$的比均為$\varphi$，所組成的矩形仍為黃金矩形。

繪製

黃金矩形畫法

黃金矩形可以尺規作圖來繪製

1. 畫一正方形
2. 以方形任一邊的中點為圓心，到對角長（即切割出來的長方形的對角線）為半徑畫弧
3. 把該邊延長到上步所畫的弧即完成黃金矩形的長邊
4. 完成剩餘部份

原理

黃金比等於

${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}:1$

約等於162：100

同乘2等於

$1+{\sqrt {5}}:2$

約等於162：100

將正方形一邊看作2
由中點到對角長的長度即是${\sqrt {5}}$（由勾股定理求出），故所求出的長邊即是$1+{\sqrt {5}}$

參看

• 黃金螺線