五邊形數定理

五邊形數定理是一個由歐拉發現的數學定理，描述歐拉函數$\phi (q)$展開式的特性 。歐拉函數的展開式如下：

$\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}x^{\frac {k(3k-1)}{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{\frac {k(3k\pm 1)}{2}}$

亦即

$(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\cdots =1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}+\cdots .$

歐拉函數展開後，有些次方項被消去，只留下次方項為1, 2, 5, 7, 12, ...的項次，留下來的次方恰為廣義五邊形數。

若將上式視為冪級數，其收斂半徑為1，不過若只是當作形式冪級數來考慮，就不會考慮其收斂半徑。

和分割函數的關係

歐拉函數的倒數是分割函數的母函數，亦即：

${\frac {1}{\phi (x)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)x^{k}$

其中$p(k)$為k的分割函數。

上式配合五邊形數定理，可以得到

$(1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}+\cdots )(1+p(1)x+p(2)x^{2}+p(3)x^{3}+\cdots )=1$

考慮$x^{n}$項的系數，在 n>0 時，等式右側的系數均為0，比較等式二側的系數，可得

$p(n)-p(n-1)-p(n-2)+p(n-5)+p(n-7)+\cdots =0$

因此可得到分割函數p(n)的遞歸式

$p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+\cdots$

以n=10為例

$p(10)=p(9)+p(8)-p(5)-p(3)=30+22-7-3=42$

外部連結

• Euler and the pentagonal number theorem
• On Euler's Pentagonal Theorem（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） at MathPages
• Number Theorem. at MathWorld
• The Pentagonal Number Theorem and All That（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） from Dick Koch.