在數學中,凸共軛(英語:convex conjugate)是勒讓德變換的一種推廣;凸共軛也被稱作勒讓德-芬克爾變換(Legendre–Fenchel transformation),以阿德里安-馬里·勒讓德和威爾納·芬克爾命名。
函數
在擴展的實數軸上取值。
它的凸共軛定義為:
這裏,
表示實賦範向量空間,
表示
的對偶空間。
映射
表示一個二次型,滿足:對於
(
)中任意非零元素
,總能在
(對應地,
)中找到一個元素
使得
。
- 仿射變換
;它的凸共軛是:
- 冪函數
;它的凸共軛是:
這裏
- 絕對值變換
;它的凸共軛是:
- 指數函數
;它的凸共軛是:
逆序性[編輯]
如果
,那麼就有
。這裏的
指,對定義域中所有元素
,都有
成立。
半連續性與兩次凸共軛[編輯]
函數
的凸共軛總具有半連續性,因此函數
的兩次共軛
也具有半連續性。同時,
還是是閉凸包,也即最大的凸的半連續函數,滿足
。
由Fenchel-Moreau定理可以知道,對於合適的函數
,
若且唯若
是半連續的凸函數。
Fenchel不等式[編輯]
, 這裏
,
是
的凸共軛。
凸共軛算子自身是凸的,即:
取函數
,
間任意實數
,有:
成立。
最小值卷積[編輯]
對於兩個函數f和g,它們的最小值卷積被定義為
![{\displaystyle \left(f\Box g\right)(x)=\inf \left\{f(x-y)+g(y)\,|\,y\in \mathbb {R} ^{n}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359ab799cdba34e01dcb0c2478d4c03215cbf4c9)
如果 f1, …, fm 都是Rn上的proper且凸且半連續的函數。那麼它們的最小值卷積是凸且半連續的(但不一定proper),並且滿足關係
![{\displaystyle \left(f_{1}\Box \cdots \Box f_{m}\right)^{*}=f_{1}^{*}+\cdots +f_{m}^{*}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961edb42b675aba7d9615b0ec29a5cf83be9723f)
兩個函數的最小值卷積具有幾何意義。兩個函數的最小值卷積的超圖是這兩個函數的超圖的閔可夫斯基和