極正弦 （polar sine ）是正弦函數 的推廣。
其將正弦函數從原本只能計算平面角 推廣到可以計算多胞形 的頂角 。
極正弦函數通常記為psin polsin [ 1] 輸入值 並非是角度，而是能代表特定立體角的向量 組。
左側3D體積的解釋：平行六面體 （對應極正弦定義中的
Ω
{\displaystyle \Omega }
長方體 （對應極正弦定義中的
Π
{\displaystyle \Pi }
令v 1 , ..., v n n ≥ 1n ℝn 歐幾里德向量 ，該向量從平行多胞形的頂點 定向，形成平行多胞形 的邊。則頂角 的極正弦為：[ 1]
psin
(
v
1
,
…
,
v
n
)
=
Ω
Π
,
{\displaystyle \operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n})={\frac {\Omega }{\Pi }},}
其中分子是行列式 ：
Ω
=
det
[
v
1
v
2
⋯
v
n
]
=
|
v
11
v
21
⋯
v
n
1
v
12
v
22
⋯
v
n
2
⋮
⋮
⋱
⋮
v
1
n
v
2
n
⋯
v
n
n
|
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}={\begin{vmatrix}v_{11}&v_{21}&\cdots &v_{n1}\\v_{12}&v_{22}&\cdots &v_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\v_{1n}&v_{2n}&\cdots &v_{nn}\\\end{vmatrix}}\end{aligned}}\,,}
其等價於具有向量邊的平行多胞形的有符號超體積 [ 2]
v
1
=
(
v
11
,
v
12
,
…
,
v
1
n
)
T
v
2
=
(
v
21
,
v
22
,
…
,
v
2
n
)
T
⋮
v
n
=
(
v
n
1
,
v
n
2
,
…
,
v
n
n
)
T
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{1}&=(v_{11},v_{12},\dots ,v_{1n})^{T}\\\mathbf {v} _{2}&=(v_{21},v_{22},\dots ,v_{2n})^{T}\\&\,\,\,\vdots \\\mathbf {v} _{n}&=(v_{n1},v_{n2},\dots ,v_{nn})^{T}\,,\\\end{aligned}}}
而分母是所有頂角邊長的積：
Π
=
∏
i
=
1
n
‖
v
i
‖
{\displaystyle \Pi =\prod _{i=1}^{n}\|\mathbf {v} _{i}\|}
它等於n 超矩形 的超體積，其邊等於向量長度||v 1 ||, ||v 2 ||, ... ||v n [ 3]
平行多胞形有如「壓扁的超矩形」，因此它的超體積比超矩形小，這意味着（可參閱附圖的3D範例）：
|
Ω
|
≤
Π
⟹
|
Ω
|
Π
≤
1
⟹
−
1
≤
psin
(
v
1
,
…
,
v
n
)
≤
1
,
{\displaystyle |\Omega |\leq \Pi \implies {\frac {|\Omega |}{\Pi }}\leq 1\implies -1\leq \operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n})\leq 1\,,}
對於一般的正弦，只有在所有向量相互正交的情況下才能達到其中任一個極值。
在n = 2普通正弦 。[ 註 1]
如果一個n n n n n n n (n −1) n S V i V j E ij K > 0[ 1]
psin
2
(
S
)
=
|
1
cos
E
01
K
cos
E
02
K
⋯
E
0
n
K
cos
E
10
K
1
cos
E
12
K
⋯
E
1
n
K
cos
E
20
K
cos
E
21
K
1
⋯
E
2
n
K
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
cos
E
n
0
K
cos
E
n
1
K
cos
E
n
2
K
⋯
1
|
{\displaystyle \operatorname {psin} ^{2}\left(S\right)={\begin{vmatrix}1&\cos E_{01}{\sqrt {K}}&\cos E_{02}{\sqrt {K}}&\cdots &E_{0n}{\sqrt {K}}\\\cos E_{10}{\sqrt {K}}&1&\cos E_{12}{\sqrt {K}}&\cdots &E_{1n}{\sqrt {K}}\\\cos E_{20}{\sqrt {K}}&\cos E_{21}{\sqrt {K}}&1&\cdots &E_{2n}{\sqrt {K}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\cos E_{n0}{\sqrt {K}}&\cos E_{n1}{\sqrt {K}}&\cos E_{n2}{\sqrt {K}}&\cdots &1\end{vmatrix}}}
可以使用格拉姆行列式 定義適用於任何m
Ω
=
det
(
[
v
1
v
2
⋯
v
n
]
T
[
v
1
v
2
⋯
v
n
]
)
,
{\displaystyle \Omega ={\sqrt {\det \left({\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}\right)}}\,,}
其中，上標的T 轉置 。只有當m ≥ n m = n m < n 奇異n × n ，得到Ω = 0m n
由於行列式交換行的反對稱性，因此只要兩個向量互換，極正弦就會正負變號；不過，極正弦的絕對值並不會因此改變。
Ω
=
det
[
v
1
v
2
⋯
v
i
⋯
v
j
⋯
v
n
]
=
−
det
[
v
1
v
2
⋯
v
j
⋯
v
i
⋯
v
n
]
=
−
Ω
{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{i}&\cdots &\mathbf {v} _{j}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}\\&=-\!\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{j}&\cdots &\mathbf {v} _{i}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}\\&=-\Omega \end{aligned}}}
如果將代入極正弦的所有向量v 1 , ..., v n ci
psin
(
c
1
v
1
,
…
,
c
n
v
n
)
=
det
[
c
1
v
1
c
2
v
2
⋯
c
n
v
n
]
∏
i
=
1
n
‖
c
i
v
i
‖
=
∏
i
=
1
n
c
i
∏
i
=
1
n
|
c
i
|
⋅
det
[
v
1
v
2
⋯
v
n
]
∏
i
=
1
n
‖
v
i
‖
=
psin
(
v
1
,
…
,
v
n
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {psin} (c_{1}\mathbf {v} _{1},\dots ,c_{n}\mathbf {v} _{n})&={\frac {\det {\begin{bmatrix}c_{1}\mathbf {v} _{1}&c_{2}\mathbf {v} _{2}&\cdots &c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}}{\prod _{i=1}^{n}\|c_{i}\mathbf {v} _{i}\|}}\\[6pt]&={\frac {\prod _{i=1}^{n}c_{i}}{\prod _{i=1}^{n}|c_{i}|}}\cdot {\frac {\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}}{\prod _{i=1}^{n}\|\mathbf {v} _{i}\|}}\\[6pt]&=\operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}).\end{aligned}}}
如果有奇數個常數為負值，則極正弦的值會正負變號，但絕對值仍然會維持不變。
如果向量不是線性獨立的，則極正弦值為零。而在維數m n 退化 情況下，則極正弦也為零。
兩個非零向量之間的角度之餘弦值由下式給出：
cos
(
v
1
,
v
2
)
=
v
1
⋅
v
2
‖
v
1
‖
‖
v
2
‖
{\displaystyle \cos(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})={\frac {\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}{\|\mathbf {v} _{1}\|\|\mathbf {v} _{2}\|}}\,}
其使用了點積 和向量長的乘積。將此式與上面給出的極正弦絕對值的定義進行比較，可以得到：
|
psin
(
v
1
,
…
,
v
n
)
|
2
=
det
[
1
cos
(
v
1
,
v
2
)
⋯
cos
(
v
1
,
v
n
)
cos
(
v
2
,
v
1
)
1
⋯
cos
(
v
2
,
v
n
)
⋮
⋮
⋱
⋮
cos
(
v
n
,
v
1
)
cos
(
v
n
,
v
2
)
⋯
1
]
.
{\displaystyle \left|\operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})\right|^{2}=\det \!\left[{\begin{matrix}1&\cos(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})&\cdots &\cos(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{n})\\\cos(\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{1})&1&\cdots &\cos(\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\cos(\mathbf {v} _{n},\mathbf {v} _{1})&\cos(\mathbf {v} _{n},\mathbf {v} _{2})&\cdots &1\\\end{matrix}}\right].}
特別是對於維數n = 2
sin
2
(
v
1
,
v
2
)
=
1
−
cos
2
(
v
1
,
v
2
)
,
{\displaystyle \sin ^{2}(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})=1-\cos ^{2}(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})\,,}
即勾股定理 。
歐拉在18世紀時研究了極正弦。[ 4]
^ 令n = 2
psin
(
v
1
,
v
2
)
=
Ω
Π
{\displaystyle \operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})={\frac {\Omega }{\Pi }}}
∠
A
O
B
{\displaystyle \angle AOB}
θ
{\displaystyle \theta }
v
1
{\displaystyle \mathbf {v} _{1}}
v
2
{\displaystyle \mathbf {v} _{2}}
v
1
{\displaystyle \mathbf {v} _{1}}
x
{\displaystyle x}
v
1
{\displaystyle \mathbf {v} _{1}}
[
1
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}}}
v
2
{\displaystyle \mathbf {v} _{2}}
[
cos
θ
sin
θ
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \\\end{bmatrix}}}
Ω
=
det
[
v
1
v
2
]
=
|
1
cos
θ
0
sin
θ
|
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}\end{bmatrix}}={\begin{vmatrix}1&\cos \theta \\0&\sin \theta \\\end{vmatrix}}\end{aligned}}\,,}
Π
=
∏
i
=
1
2
‖
v
i
‖
=
‖
v
1
‖
‖
˙
v
2
‖
=
cos
2
θ
+
sin
2
θ
1
2
+
0
2
=
1
{\displaystyle \Pi =\prod _{i=1}^{2}\|\mathbf {v} _{i}\|=\|\mathbf {v} _{1}\|{\dot {\|}}\mathbf {v} _{2}\|={\sqrt {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }}{\sqrt {1^{2}+0^{2}}}=1}
psin
(
v
1
,
v
2
)
=
Ω
Π
=
|
1
cos
θ
0
sin
θ
|
1
=
sin
θ
1
=
sin
θ
{\displaystyle \operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})={\frac {\Omega }{\Pi }}={\frac {\begin{vmatrix}1&\cos \theta \\0&\sin \theta \\\end{vmatrix}}{1}}={\frac {\sin \theta }{1}}=\sin \theta }
psin
{\displaystyle \operatorname {psin} }
sin
{\displaystyle \sin }
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {psin} (c_{1}\mathbf {v} _{1},\dots ,c_{n}\mathbf {v} _{n})&={\frac {\det {\begin{bmatrix}c_{1}\mathbf {v} _{1}&c_{2}\mathbf {v} _{2}&\cdots &c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}}{\prod _{i=1}^{n}\|c_{i}\mathbf {v} _{i}\|}}\\[6pt]&={\frac {\prod _{i=1}^{n}c_{i}}{\prod _{i=1}^{n}|c_{i}|}}\cdot {\frac {\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}}{\prod _{i=1}^{n}\|\mathbf {v} _{i}\|}}\\[6pt]&=\operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84914146a444deccd208fe9ca0e5453c4fdc2329)
![{\displaystyle \left|\operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})\right|^{2}=\det \!\left[{\begin{matrix}1&\cos(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})&\cdots &\cos(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{n})\\\cos(\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{1})&1&\cdots &\cos(\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\cos(\mathbf {v} _{n},\mathbf {v} _{1})&\cos(\mathbf {v} _{n},\mathbf {v} _{2})&\cdots &1\\\end{matrix}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/756b2f3d6b6afaf14031c49d63e338b6841288cc)
. doi:10.1016/j.jat.2008.03.005.
