模糊數學 ，亦稱弗晰數學 或模糊性數學 。1965年以後，在模糊集合 、模糊邏輯 的基礎上發展起來的模糊拓撲 、模糊測度論等數學領域的統稱。是研究現實世界中許多界限不分明甚至是很模糊的問題的數學工具。在模式識別 、人工智能 等方面有廣泛的應用。
給定一個論域 U ，那麼從 U 到單位區間 [0,1] 的一個映射
μ
A
:
U
↦
[
0
,
1
]
{\displaystyle \mu _{A}:U\mapsto [0,1]}
U 上的一個模糊集 或 U 的一個模糊子集
[ a] A 。
映射（函數） μA (·) 或簡記為 A (·) 叫做模糊集 A 的隸屬函數 。
對於每個 x ∈ U ， μA (x ) 叫做元素 x 對模糊集 A 的隸屬度 。
模糊集的常用表示法有下述幾種：
解析法，也即給出隸屬函數的具體表達式。
Zadeh 記法，例如
A
=
1
x
1
+
0.5
x
2
+
0.72
x
3
+
0
x
4
{\displaystyle A={1 \over x_{1}}+{0.5 \over x_{2}}+{0.72 \over x_{3}}+{0 \over x_{4}}}
序偶法，例如
A
=
{
(
x
1
,
1
)
,
(
x
2
,
0.5
)
,
(
x
3
,
0.72
)
,
(
x
4
,
0
)
}
{\displaystyle A=\{(x_{1},1),(x_{2},0.5),(x_{3},0.72),(x_{4},0)\}}
向量法，在有限論域的場合，給論域中元素規定一個表達的順序，那麼可以將上述序偶法簡寫為隸屬度的向量式，如 A = (1,0.5,0.72,0) 。 模糊集 A 的承集 或支集 記為
supp
A
=
{
x
∈
U
∣
A
(
x
)
≠
0
}
{\displaystyle {\text{supp}}A=\{x\in U\mid A(x)\neq 0\}}
模糊集 A 的核 記為
ker
A
=
{
x
∈
U
∣
A
(
x
)
=
1
}
{\displaystyle {\text{ker}}A=\{x\in U\mid A(x)=1\}}
模糊集 A 的高度 記為
hgt
A
=
sup
{
A
(
x
)
∣
x
∈
U
}
{\displaystyle {\text{hgt}}A=\sup\{A(x)\mid x\in U\}}
模糊集 A 的深度 記為
dpn
A
=
inf
{
A
(
x
)
∣
x
∈
U
}
{\displaystyle {\text{dpn}}A=\inf\{A(x)\mid x\in U\}}
一個模糊集 A 的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度，一個直觀的定義是這樣的：
設映射 D : F (U ) → [0,1] 滿足下述5條性質：
清晰性：D (A ) = 0 若且唯若 A ∈ P (U )。（經典集的模糊度恆為0。）
模糊性：D (A ) = 1 若且唯若 ∀ u ∈ U 有 A (u ) = 0.5。（隸屬度都為0.5的模糊集最模糊。）
單調性：∀ u ∈ U ，若 A (u ) ≤ B (u ) ≤ 0.5，或者 A (u ) ≥ B (u ) ≥ 0.5，則 D (A ) ≤ D (B )。
對稱性：∀ A ∈ F (U )，有 D (Ac ) = D (A )。（補集的模糊度相等。）
可加性：D (A ∪B ) + D (A ∩B )=D (A ) + D (B )。 則稱 D 是定義在 F (U ) 上的模糊度函數 ，而 D (A ) 為模糊集 A 的模糊度 。
可以證明符合上述定義的模糊度是存在的[ 1]
D
p
(
A
)
=
2
n
1
/
p
(
∑
i
=
1
n
|
A
(
u
i
)
−
A
0.5
(
u
i
)
|
p
)
1
/
p
D
(
A
)
=
∫
−
∞
+
∞
|
A
(
u
)
−
A
0.5
(
u
)
|
d
u
{\displaystyle {\begin{aligned}D_{p}(A)&={\frac {2}{n^{1/p}}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\left|A(u_{i})-A_{0.5}(u_{i})\right|^{p}\right)^{1/p}\\D(A)&=\int _{-\infty }^{+\infty }|A(u)-A_{0.5}(u)|{\mbox{d}}u\end{aligned}}}
p > 0 是參數，稱為 Minkowski 模糊度。特別地，當 p = 1 的時候稱為 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指標，當 p = 2 的時候稱為 Euclid 模糊度。
a
∨
b
=
max
{
a
,
b
}
a
∧
b
=
min
{
a
,
b
}
{\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b&=\max\{a,b\}\\a\wedge b&=\min\{a,b\}\end{aligned}}}
a
+
∧
b
=
a
+
b
−
a
b
a
⋅
b
=
a
b
{\displaystyle {\begin{aligned}a{\stackrel {\wedge }{+}}b&=a+b-ab\\a\cdot b&=ab\end{aligned}}}
a
⊕
b
=
min
{
1
,
a
+
b
}
a
⊙
b
=
max
{
0
,
a
+
b
−
1
}
{\displaystyle {\begin{aligned}a\oplus b&=\min\{1,a+b\}\\a\odot b&=\max\{0,a+b-1\}\end{aligned}}}
a
ϵ
+
b
=
a
+
b
1
+
a
b
a
ϵ
⋅
b
=
a
b
1
+
(
1
−
a
)
(
1
−
b
)
{\displaystyle {\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\epsilon }}b&={\frac {a+b}{1+ab}}\\a{\stackrel {\cdot }{\epsilon }}b&={\frac {ab}{1+(1-a)(1-b)}}\end{aligned}}}
Hamacher 算子，其中ν ∈ [0,+∞) 是參數，等於1時轉化為代數算子，等於2時轉化為 Einstein 算子
a
ν
+
b
=
a
+
b
−
a
b
−
(
1
−
ν
)
a
b
ν
+
(
1
−
ν
)
(
1
−
a
b
)
a
ν
⋅
b
=
a
b
ν
+
(
1
−
ν
)
(
a
+
b
−
a
b
)
{\displaystyle {\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\nu }}b&={\frac {a+b-ab-(1-\nu )ab}{\nu +(1-\nu )(1-ab)}}\\a{\stackrel {\cdot }{\nu }}b&={\frac {ab}{\nu +(1-\nu )(a+b-ab)}}\end{aligned}}}
Yager 算子，其中 p 是參數，等於1時轉化為有界算子，趨於無窮時轉化為 Zadeh 算子
a
Y
p
b
=
min
{
1
,
(
a
p
+
b
p
)
1
/
p
}
a
y
p
b
=
1
−
min
{
1
,
[
(
1
−
a
)
p
+
(
1
−
b
)
p
]
1
/
p
}
{\displaystyle {\begin{aligned}a\;Y_{p}\;b&=\min\{1,(a^{p}+b^{p})^{1/p}\}\\a\;y_{p}\;b&=1-\min\{1,[(1-a)^{p}+(1-b)^{p}]^{1/p}\}\end{aligned}}}
λ -γ 算子，其中 λ ,γ ∈ [0,1] 是參數
a
λ
b
=
λ
a
b
+
(
1
−
λ
)
(
a
+
b
−
a
b
)
a
γ
b
=
(
a
b
)
1
−
γ
(
a
−
a
b
)
γ
{\displaystyle {\begin{aligned}a\;\lambda \;b&=\lambda ab+(1-\lambda )(a+b-ab)\\a\;\gamma \;b&=(ab)^{1-\gamma }(a-ab)^{\gamma }\end{aligned}}}
Dobois-Prade 算子，其中 λ ∈ [0,1] 是參數
a
∨
d
b
=
a
+
b
−
a
b
−
min
{
(
1
−
λ
)
,
a
,
b
}
max
{
λ
,
1
−
a
,
1
−
b
}
a
∧
d
b
=
a
b
max
{
λ
,
a
,
b
}
{\displaystyle {\begin{aligned}a\vee _{d}b&={\frac {a+b-ab-\min\{(1-\lambda ),a,b\}}{\max\{\lambda ,1-a,1-b\}}}\\a\wedge _{d}b&={\frac {ab}{\max\{\lambda ,a,b\}}}\end{aligned}}}
參見集合代數 和布爾代數 。
主要算子的性質對比表如下（.表示不滿足，-表示未驗證）：
算子
結合律
交換律
分配律
互補律
同一律
冪等律
支配律
吸收律
雙重否定律
德·摩根律
Zedah
√
√
√
.
√
√
√
√
√
√
代數
√
√
.
.
√
.
√
.
-
√
有界
√
√
.
√
√
.
√
√
-
√
線性補償是指：
(
∀
x
,
y
,
k
∈
[
0
,
1
]
)
(
x
+
k
∧
y
−
k
⇒
U
(
x
+
k
,
y
−
k
)
=
U
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle (\forall x,y,k\in [0,1])(x+k\wedge y-k\ \Rightarrow \ U(x+k,y-k)=U(x,y))}
[ 2]
算子的並運算
冪等律
排中律
分配律
結合律
線性補償
Zadeh
√
.
√
√
.
代數
.
.
.
√
.
有界
.
√
.
.
√
Hamacher r = 0
.
.
.
√
.
Yager
.
.
.
√
.
Hamacher
.
.
.
√
.
Dobois-Prade
.
.
.
√
.
設
A
∈
F
(
U
)
{\displaystyle A\in {\mathcal {F}}(U)}
λ
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle \lambda \in [0,1]}
A
λ
=
{
u
∈
U
∣
A
(
u
)
≥
λ
}
{\displaystyle A_{\lambda }=\{u\in U\mid A(u)\geq \lambda \}}
稱 Aλ 為 A 的 λ 截集 ，而 λ 稱為閾值或置信水平。將上式中的 ≥ 替換為 >，記為 ASλ ，稱為強截集 。
截集和強截集都是經典集合。此外，顯然 A 1 為 A 的核 ，即 kerA ；如果 kerA ≠ ø，則稱 A 為正規模糊集，否則稱為非正規模糊集。
截積是數與模糊集的積：λ ∈ [0,1]，A ∈ F (U )，則 ∀ u ∈U ，λ 與 A 的截積 （或稱為 λ 截集的數乘 ，記為 λA ）定義為：
(
λ
A
)
(
u
)
=
λ
∧
A
(
u
)
=
{
A
(
u
)
,
λ
≥
A
(
u
)
,
λ
,
λ
<
A
(
u
)
.
{\displaystyle (\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)={\begin{cases}A(u),&\lambda \geq A(u),\\\lambda ,&\lambda <A(u).\end{cases}}}
根據定義，截積仍是 U 上的模糊集合。
分解定理 ：A ∈F (U )，則
A
=
⋃
λ
∈
[
0
,
1
]
λ
A
λ
{\displaystyle A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda A_{\lambda }}
即任一模糊集 A 都可以表達為一族簡單模糊集 {λAλ } 的並。也即，一個模糊集可以由其自身分解出的集合套而「拼成」。
表現定理 ：H 為 U 上的任何一個集合套，則
A
=
⋃
λ
∈
[
0
,
1
]
λ
H
(
λ
)
{\displaystyle A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda H(\lambda )}
是 U 上的一個模糊集，且 ∀ λ ∈ [0,1]，有ASλ = ∪α >λ H (α )Aλ = ∩α <λ H (α )
可以使用一般的度量 理論來描述模糊集之間的距離。在這個意義上，我們需要在模糊冪集 F (U ) 上建立一個度量，此外，我們還可能需要將此度量標準化，也即映射到 [0,1] 區間上。例如可以這樣來標準化 Minkowski 距離：
d
~
(
x
,
y
)
=
(
1
n
∑
i
=
1
n
|
x
i
−
y
i
|
p
)
1
p
{\displaystyle {\tilde {d}}(x,y)=\left({1 \over n}\sum \limits _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1 \over p}}
另一種是使用貼近度概念。在某種意義上，貼近度就是 1 - 距離 （這裏的距離是上述標準化意義上的距離）。而之所以應用這個變換，是考慮到「度」的概念的直覺反映——距離越近，貼近的程度顯然越「高」，因此它恰為距離的反數。
除了距離外，還有一些與模糊集的特殊操作有關係的貼近度定義。
σ
(
A
,
B
)
=
∑
i
=
1
n
(
A
(
u
i
)
∧
B
(
u
i
)
)
∑
i
=
1
n
(
A
(
u
i
)
∨
B
(
u
i
)
)
{\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\vee B(u_{i}))}}}
σ
(
A
,
B
)
=
∑
i
=
1
n
(
A
(
u
i
)
∧
B
(
u
i
)
)
1
2
∑
i
=
1
n
(
A
(
u
i
)
+
B
(
u
i
)
)
{\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{{1 \over 2}\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})+B(u_{i}))}}}
σ
(
A
,
B
)
=
∑
i
=
1
n
(
A
(
u
i
)
∧
B
(
u
i
)
)
∑
i
=
1
n
A
(
u
i
)
⋅
B
(
u
i
)
{\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {A(u_{i})\cdot B(u_{i})}}}}}
σ
(
A
,
B
)
=
1
e
‖
A
−
B
‖
{\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {1}{e^{\|A-B\|}}}}
模糊關係是建立在模糊集上的關係 ，此外，它也有一些特別的性質和應用。
設 U 和 V 是論域，U × V = {(x , y ) | x ∈ U , y ∈ V } 是 U 和 V 的笛卡爾直積，則每個模糊子集 R ∈ U × V 都稱為從 U 到 V 的一個模糊關係 。若 U = V ，則稱 R 是 U 中的模糊關係。如果 R (x ,y ) = α，則稱 x 與 y 具有關係 R 的程度 為 α。特別地：
若 ∀ (x ,y ) ∈ U × U ，當 x = y 時 R = 1，當 x ≠ y 時 R = 0，則稱 R 為 U 上的恆等關係，記為 I
若 ∀ (x ,y ) ∈ U × V ，有 R (x ,y ) = 0，則稱 R 為從 U 到 V 的零關係，記為 0
若 ∀ (x ,y ) ∈ U × V ，有 R (x ,y ) = 1，則稱 R 為從 U 到 V 的全稱關係，記為 E 轉置 ，定義為
R T x ,y ) = R (y ,x )易知轉置運算滿足復原律、交換律和單調性等。[ 3]
關係的合成 ：U x-m 到 V y-p 的關係 R ，以及從 V y-p 到 W z-n 的關係 S ，那麼從 U 到 W 的模糊複合關係 R · S 為
(
R
∘
S
)
(
x
i
,
z
j
)
=
⋁
k
≤
p
[
R
(
x
i
,
y
k
)
∧
S
(
y
k
,
z
j
)
]
{\displaystyle \displaystyle (R\circ S)(x_{i},z_{j})=\bigvee _{k\leq p}[R(x_{i},y_{k})\wedge S(y_{k},z_{j})]}
其中 ∧ 是取小 ∨ 是取大（即 Zedah 算子）。由此可知，模糊複合關係的運算，就是兩個模糊關係的矩陣的乘法運算，只是要將矩陣乘法中的乘法改為 ∧，而加法改為 ∨ 即可。
例子 ：設 U = {1,2,3,4}, V = {a,b,c}, W = {α,β}：
從 U 到 V 的模糊關係 R
(1,a)=0.7, (1,b)=0.5, (1,c)=0
(2,a)=1, (2,b)=0, (2,c)=0
(3,a)=0, (3,b)=1, (3,c)=0
(4,a)=0, (4,b)=0.4, (4,c)=0.3
從 V 到 W 的模糊關係 S
(a,α)=0,6 (a,β)=0.8
(b,α)=0 (b,β)=1
(c,α)=0 (c,β)=0.9
那麼這些模糊關係可以寫成如下矩陣表達（注意行列位置）：
R a
b
c
1
0.7
0.5
0
2
1
0
0
3
0
1
0
4
0
0.4
0.3
S α
β
a
0.6
0.8
b
0
1
c
0
0.9
R · S α
β
1
0.6
0.7
2
0.6
0.8
3
0
1
4
0
0.4
模糊等價關係 定義：U 中的模糊關係 R 滿足
1. 自反性
∀ x ∈ U , R (x , x ) = 1
2. 對稱性
∀ x , y ∈ U , R (x , y ) = R (y , x )
3. 傳遞性
∀ x , y , z ∈ U , ∀ λ ∈ [0,1], 當 R (x , y ) ≥ λ 且 R (y , z ) ≥ λ 時，R (x , z ) ≥ λ 則稱 R 為 U 中的一個模糊等價關係。易知，對於一個固定的 λ ∈ [0,1] 來說，傳遞性條件刻畫了模糊關係 R 具有 λ 水平上的傳遞性。
下述定理指出了模糊等價關係與普通等價關係的關係：U 中的模糊關係 R 是模糊等價關係的充要條件是，對於每個 λ ∈ [0,1]，R 的 λ 截關係 R λ U 中的普通等價關係。
只滿足自反性和對稱性，不滿足傳遞性的模糊關係稱為模糊相似關係 。而將等價關係與相似關係聯繫在一起的是下述定理：U 中的模糊關係 R 是模糊傳遞關係的充要條件是 R 2 ⊆ R 。
分類 ：
如果模糊關係是等價關係，取某一水平的 λ 截集，即可得到這個水平上的分類。
如果模糊關係是相似關係，計算 R * ≡ R 2^k = R 2^(k +1) ，則 R * 可被證明是等價關係。
^ 要注意：嚴格地說，模糊集或子集是映射所確定的序對集 ，但由於模糊子集完全由其隸屬函數所確定，因而我們不區分映射和映射所確定的序對集，而總是直接把模糊子集定義為一個滿足上述定義的映射。
^ 陳水利等，模糊集理論及其應用，科學出版社，2005年，第20頁。
^ Etienne E. Kerre 等，模糊集理論與近似推理，武漢大學出版社，2004年，第103頁。
^ 陳水利等，模糊集理論及其應用，科學出版社，2005年，第62頁。
![{\displaystyle \mu _{A}:U\mapsto [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f930f28219c0c358306e0b982313b334d82b4e9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}a\;Y_{p}\;b&=\min\{1,(a^{p}+b^{p})^{1/p}\}\\a\;y_{p}\;b&=1-\min\{1,[(1-a)^{p}+(1-b)^{p}]^{1/p}\}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43f0856477bea4a60748e7c35ccfe030bcc0d89)
![{\displaystyle (\forall x,y,k\in [0,1])(x+k\wedge y-k\ \Rightarrow \ U(x+k,y-k)=U(x,y))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48e6a1d2053117ae92594e5e0949505e8980c60a)
![{\displaystyle \lambda \in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010c0ee88963a09590dd07393d288edd83786b91)
![{\displaystyle A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda A_{\lambda }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f80a983d56126a1477e8e68eec5580845cfa09)
![{\displaystyle A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda H(\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c2d1db5dc7e0efda1441250e7dec31989caa35f)
![{\displaystyle \displaystyle (R\circ S)(x_{i},z_{j})=\bigvee _{k\leq p}[R(x_{i},y_{k})\wedge S(y_{k},z_{j})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d23f8723139f121e5307c1bbe838bdd52e8428)