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正则变换

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哈密顿力学里,正则变换(canonical transformation)是一种正则坐标的改变,,而同时维持哈密顿方程的形式,虽然哈密顿量可能会改变。正则变换是哈密顿-亚可比方程刘维尔定理的基础。

定义

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点变换point transformation)将广义坐标变换成广义坐标,点变换方程的形式为

其中,时间

哈密顿力学里,由于广义坐标与广义动量同样地都是自变量independent variable),点变换的定义可以加以延伸,使变换方程成为

其中,是新的广义动量。

为了分辨这两种不同的点变换,称前一种点变换为位形空间点变换,而后一种为相空间点变换

哈密顿力学里,正则变换将一组正则坐标变换为一组新的正则坐标,而同时维持哈密顿方程的形式(称为形式不变性)。原本的哈密顿方程为

新的哈密顿方程为

其中,分别为原本的哈密顿量与新的哈密顿量。

实际用处

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思考一个物理系统的哈密顿量

假设哈密顿量跟其中一个广义坐标无关,则称可略坐标ignorable coordinate),或循环坐标cyclic coordinate):

在哈密顿方程中,广义动量对于时间的导数是

所以,广义动量是常数

假设一个系统里有个广义坐标是可略坐标。找出这个可略坐标,则可以使这系统减少个变数;使问题的困难度减少很多。正则变换可以用来寻找这一组可略坐标。

生成函数方法

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主项目:正则变换生成函数

采取一种间接的方法,称为生成函数方法,从变换到。为了要保证正则变换的正确性,第二组变数必须跟第一组变数一样地遵守哈密顿原理

那么,必须令

其中,标度因子生成函数

假若一个变换涉及标度因子,则称此变换为标度变换scale transformation)。一般而言,标度因子不一定等于1。假若标度因子不等于1,则称此正则变换为延伸正则变换extended canonical transformation);假若标度因子等于1,则称为正则变换

任何延伸正则变换都可以修改为正则变换。假设一个的延伸正则变换表示为

则可以设定另外一组变数与哈密顿量: ;其中,是用来删除的常数,。经过一番运算,可以得到

(1)

显然地,这变换符合哈密顿方程。所以,任何延伸正则变换都可以改变为正则变换。

假若正则变换不显性含时间,则称为设限正则变换restricted canonical transformation)。

生成函数的参数,除了时间以外,一半是旧的正则坐标;另一半是新的正则坐标。视选择出来不同的变数而定,一共有四种基本的生成函数。每一种基本生成函数设定一种变换,从旧的一组正则坐标变换为新的一组正则坐标。这变换保证是正则变换。

第一型生成函数

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第一型生成函数只跟旧广义坐标、新广义坐标有关,

代入方程(1)。展开生成函数对于时间的全导数

新广义坐标和旧广义坐标都是自变量,其对于时间的全导数互相无关,所以,以下个方程都必须成立:

(2)
(3)
(4)

个方程设定了变换,步骤如下:

第一组的个方程(2),设定了个函数方程

在理想情况下,这些方程可以逆算出个函数方程

(5)

第二组的个方程(3),设定了个函数方程

代入函数方程(5),可以算出个函数方程

(6)

个函数方程(5)、(6),可以逆算出个函数方程

代入新哈密顿量的方程(4),可以得到

第二型生成函数

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第二型生成函数的参数是旧广义坐标、新广义动量 与时间:

以下方程设定了变换

, 

第三型生成函数

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第三型生成函数 的参数是旧广义动量、新广义坐标与时间:

以下方程设定了变换

第四型生成函数

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第四型生成函数的参数是旧广义动量、新广义动量与时间:

以下方程设定了变换

实例1

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第一型生成函数有一个特别简易案例:

生成函数的导数分别为

旧的哈密顿量与新的哈密顿量相同:

实例2

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再举一个比较复杂的例子。让

这里,是一组个函数。

答案是一个广义坐标的点变换,

不变量

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正则变换必须满足哈密顿方程不变;哈密顿方程为正则变换的一个不变式。另外,正则变换也有几个重要的不变量

辛条件

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辛标记提供了一种既简单,又有效率的标记方法来展示方程及数学运算。设定一个的竖矩阵 :

变数矢量包装在一起。这样,哈密顿方程可以简易的表示为

这里,是辛连结矩阵、是哈密顿量。

应用辛标记于正则变换,正则坐标会从旧正则坐标改变成新正则坐标;哈密顿量也从旧的哈密顿量改变成新的哈密顿量;但是,哈密顿方程的形式仍旧维持不变:

这里,

用第一型生成函数,则

关于时间的导数,

这里,亚可比矩阵

代入哈密顿方程,

 ;

假若限制正则变换为设限正则变换,也就是说,显性地不含时间,解答会简单许多。假若正则变换显性地含时间,则仍旧能得到与下述同样的答案[1],这是一个很好的偏导数习题。现在,限制这正则变换为设限正则变换,则简化后的方程为

,所以,

代回前一个方程,取的系数,则可以得到

经过一番运算,

可以求出辛条件:

在这里,得到了正则变换的辛条件:一个变换是正则变换,当且仅当辛条件成立。

基本帕松括号不变量

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相空间里,两个函数关于正则坐标帕松括号定义为

用辛标记,

立刻,可以得到下述关系:

定义基本帕松括号为一个方矩阵,其中,元素的值是。那么,

思考一个变换。新坐标的基本帕松括号为

这两个正则坐标的亚可比矩阵

代入前一个方程,则

假若这变换是正则变换,辛条件必须成立,

相反地,假若,则辛条件成立,这变换是正则变换。

所以,一个变换是正则变换,当且仅当基本帕松括号关于任何正则坐标的值不变。当表示基本帕松括号时,我们可以忽略下标符号,直接表示为,而认定这基本帕松括号是关于正则坐标计算的值。

帕松括号不变量

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思考两个函数对于正则坐标的泊松括号

假若这变换是正则变换,辛条件必须成立,

所以,任何两个函数关于正则坐标的帕松括号,都是正则变换的不变量。当表示帕松括号时,可以忽略下标符号,直接表示为,而认定这帕松括号是关于正则坐标计算的值。

参阅

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参考文献

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  1. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 384. ISBN 0201657023 (英语).