1 + 1 + 1 + 1 + …

级数1 + 1 + 1 + 1 + ⋯

平滑化之后

平滑化后的渐近特性，此直线在y轴的截轴为−1/2

1 + 1 + 1 + 1 + …，亦写作 $\sum _{n=1}^{\infty }n^{0}$, $\sum _{n=1}^{\infty }1^{n}$或$\sum _{n=1}^{\infty }1$，是一个发散级数，表示其部分和形成的数列不会收敛。数列1ⁿ可以视为公比为1的等比级数。不同于其他公比为有理数的等比级数，此级数不但在实数下不收敛，在某些特定数字p的p进数下也不收敛。若在扩展的实轴中，因为部分和形成的数列单调递增且没有上界，因此级数的值如下：

$\sum _{n=1}^{\infty }1=+\infty \,,$

此发散级数无法用切萨罗求和及阿贝尔和的求和法求和。

当出现于物理运用时，它也解释为ζ函数正规化，它是黎曼ζ函数在零点的取值。

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}\,,$

上述二个公式在$s=0$时不成立，必需利用解析连续定义。

$\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\!,$

用上式求得（假设$\Gamma (1)=1$）

$\zeta (0)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \zeta (1-s)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {\pi ^{3}s^{3}}{48}}+...\right)\ \left(-{\frac {1}{s}}+...\right)=-{\frac {1}{2}}\!$

以下ζ(s)在s = 1时的级数展开：也是这种意义下此级数的和：

1 + 1 + 1 + 1 + · · · = ζ(0) = −¹⁄₂

也可用其他的s值来为其他的级数求和，例如ζ(-1)=1 + 2 + 3 + 4 + ⋯=–1/12，ζ(-2)=1 + 4 + 9 + ... = 0，其通式为

$\zeta (-s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{s}=1^{s}+2^{s}+3^{s}+\ldots =-{\frac {B_{s+1}}{s+1}}$

其中B_k为伯努利数。

在同一年内，有两位杰出的物理学家斯拉夫诺夫（A. Slavnov）和F. Yndurain 分别在巴塞罗那作了学术演讲。两场学术演讲的主题不同，但是在这两个人的介绍当中，都说到了一句令观众非常难忘的话：“各位都知道，1 + 1 + 1 + 1 + … = −1⁄2”，某程度意味着“如果观众不知道这个，那么继续听下去是没有意义的。”