1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯

数学上，发散级数：

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!$

是被欧拉首次研究，他应用重求和方法给级数赋予一个有限的值。此级数是被交替加减的阶乘之总和。要给发散级数赋值，其中一个方法是用博雷尔和，其型式上写成：

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{\infty }x^{k}\exp(-x)\,dx$

若我们对总和和积分进行转乘（忽略两者其实都是不收敛的），将得到：

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }\left[\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}\right]\exp(-x)\,dx$

在中括号中的总和收敛，并等于1/(1 + x)，若x < 1。若我们继续对所有实数x分析1/(1 + x)，可以得到收敛积分的总和：

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-x)}{1+x}}\,dx=eE_{1}(1)\approx 0.596347362323194074341078499369\ldots$

此处的$E_{1}(z)$是指数积分。这是根据博雷尔和对级数的定义。

结果

若k为前十个值，其结果如下：

k	增量 计算	增量	结果
0	1 · 0! = 1 · 1	1	1
1	−1 · 1	−1	0
2	1 · 2 · 1	2	2
3	−1 · 3 · 2 · 1	−6	−4
4	1 · 4 · 3 · 2 · 1	24	20
5	−1 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1	−120	−100
6	1 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1	720	620
7	−1 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1	−5040	−4420
8	1 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1	40320	35900
9	−1 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1	−362880	−326980

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参考资料

• Euler, L., De seriebus divergentibus (PDF), Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 1760, (5): 205–237 [2014-03-13], （原始内容存档于2013-09-26）