条件收敛

条件收敛是数学中无穷级数和广义积分的一种性质。收敛但不绝对收敛的无穷级数或广义积分称为条件收敛的。一个积分条件收敛的函数也称为条件可积函数。

详细定义

条件收敛的级数

给定一个实数项无穷级数$A=\sum _{n}a_{n}$，如果它自身收敛于一个定值$C\in \mathbb {R}$：

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=C,$

但由每一项的绝对值构成的正项级数：$A_{s}=\sum _{n}|a_{n}|$不收敛：

$\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|=\infty ,$

那么就称这个无穷级数$A=\sum _{n}a_{n}$是一个条件收敛的无穷级数。

条件收敛的广义积分

给定一个在区间$[a,\infty )$上有定义的函数$f(x)$，如果$f(x)$在任意的闭区间$[a,b]$上都可积，并且广义积分：

$\int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x=\lim _{b\to +\infty }\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$

收敛，而函数绝对值的广义积分：

$\int _{a}^{+\infty }|f(x)|\mathrm {d} x=\lim _{b\to +\infty }\int _{a}^{b}|f(x)|\mathrm {d} x$

发散，那么就称广义积分$\int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x$条件收敛。

例子

无穷级数

常见的条件收敛的无穷级数包括交错调和级数：

$A_{h}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\sum _{n}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}$

它收敛到定值：$\ln 2$，而对应的由每项的绝对值构成的正项函数：$H=\sum _{n}{\bigg |}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}{\bigg |}=\sum _{n}{\frac {1}{n}}$叫做调和级数，是发散的。

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty .$

广义积分

条件收敛的广义积分的一个例子是函数：${\frac {\sin x}{x}}$在正实数轴上的积分：

$I=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x$

任取实数$a>1$，运用分部积分法可以得到：

$\int _{1}^{a}{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\cos 1-{\frac {\cos a}{a}}-\int _{1}^{a}{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x$

而对任意的正实数$A,B>1$：

${\Bigg |}\int _{A}^{B}{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x{\Bigg |}\leqslant \int _{A}^{B}{\frac {|\cos x|}{x^{2}}}\mathrm {d} x\leqslant \int _{A}^{B}{\frac {1}{x^{2}}}\mathrm {d} x\leqslant {\frac {1}{A}}$

由柯西收敛原理可知广义积分$\int _{1}^{+\infty }{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x$收敛，所以

$\int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\lim _{a\to +\infty }\int _{1}^{a}{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\cos 1-\lim _{a\to +\infty }{\frac {\cos a}{a}}-\lim _{a\to +\infty }\int _{1}^{a}{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x=\cos 1-\int _{1}^{+\infty }{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x$

即积分：$I=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x$收敛。但是，绝对值函数的积分：$I_{s}=\int _{1}^{+\infty }{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}\mathrm {d} x$不收敛。这是因为对任意自然数$k$，积分：

$I_{k}=\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}\mathrm {d} x\geqslant \int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\frac {|\sin x|}{(k+1)\pi }}\mathrm {d} x={\frac {2}{(k+1)\pi }}={\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {1}{k+1}}$

所以

$I_{s}=\int _{1}^{+\infty }{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}\mathrm {d} x\geqslant \sum _{k=1}^{+\infty }I_{k}\geqslant {\frac {2}{\pi }}\cdot \sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {1}{k+1}}=+\infty$

因此，积分$I=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x$是条件收敛的。

相关定理

• 黎曼级数定理：假设$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$是一个条件收敛的无穷级数。对任意的一个实数$C$，都存在一种从自然数集合到自然数集合的排列$\sigma :\,\,n\mapsto \sigma (n)$，使得

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=C.$

此外，也存在另一种排列$\sigma ':\,\,n\mapsto \sigma '(n)$，使得

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma '(n)}=\infty .$

类似地，也可以有办法使它的部分和趋于$-\infty$，或没有任何极限。

反之，如果级数是绝对收敛的，那么无论怎样重排，它仍然会收敛到同一个值，也就是级数的和。

参见

• 无条件收敛
• 绝对收敛