特征多项式

在线性代数中，对一个线性自同态（取定基即等价于方阵）可定义其特征多项式，此多项式包含该自同态的一些重要性质，例如行列式、迹数及特征值。

定义

设 $\mathbb {F}$ 为域（例如实数或复数域），对布于 $\mathbb {F}$ 上的 $n\times n$ 矩阵 $A$ ，定义其特征多项式为

p_{A}(t):=\det(tI_{n}-A)\in \mathbb {F} [t]

这是一个 $n$ 次多项式，其首项系数为一。

一般而言，对布于任何交换环上的方阵都能定义特征多项式。

性质

当 $A$ 为上三角矩阵（或下三角矩阵）时， $p_{A}(t)=\prod _{i=1}^{n}(t-\lambda _{i})$ ，其中 $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ 是主对角线上的元素。

对于二阶方阵，特征多项式能表为 $p_{A}(t)=t^{2}-\mathrm {tr} (A)t+\det(A)$ 。一般而言，若 $p_{A}(t)=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\ldots +a_{0}$ ，则 $a_{0}=(-1)^{n}\det(A)$ ， $a_{n-1}=-\mathrm {tr} (A)$ 。

此外：

特征多项式在基变更下不变：若存在可逆方阵 $C$ 使得 $B=C^{-1}AC$ ，则 $p_{A}(t)=p_{B}(t)$ 。
对任意两方阵 $A,B$ ，有 $p_{AB}(t)=p_{BA}(t)$ 。一般而言，若 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵， $B$ 为 $n\times m$ 矩阵（设 $m<n$ ），则 $p_{AB}(t)=t^{m-n}p_{BA}(t)$
凯莱-哈密顿定理： $p_{A}(A)=0$ 。