無窮算術級數

在數學中，無窮算術級數是一種滿足算術級數條件的無窮級數。例子有1 + 1 + 1 + 1 + · · ·和1 + 2 + 3 + 4 + · · ·。無窮算術級數的一般形式是：

$\sum _{n=0}^{\infty }(an+b).$

如果a = b = 0，那麼這個級數的和為0。如果a 或b中一個不是零，那麼這個級數發散且在一般意義下沒有和。

zeta函數正規化

無窮算術級數的zeta正規化和的正確形式和赫爾維茨zeta函數的值相關，

$\sum _{n=0}^{\infty }(n+\beta )=\zeta _{H}(-1;\beta ).$

雖然在zeta正規化中，1 + 1 + 1 + 1 + · · · 相當於 ζ_R(0) = −¹⁄₂，1 + 2 + 3 + 4 + · · · 相當於 ζ_R(−1) = −¹⁄₁₂（其中ζ指黎曼ζ函數）, 前面的式子一般並不 等於

$-{\frac {1}{12}}-{\frac {\beta }{2}}.$

參考資料

• Brevik, I. and H. B. Nielsen. Casimir energy for a piecewise uniform string. Physical Review D. February 1990, 41 (4): 1185–1192. doi:10.1103/PhysRevD.41.1185. 
• Elizalde, E. Zeta-function regularization is uniquely defined and well. Journal of Physics A: Mathematical and General. May 1994, 27 (9): L299–L304. doi:10.1088/0305-4470/27/9/010.  (arXiv preprint （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）)
• Li, Xinzhou; Xin Shi; and Jianzu Zhang. Generalized Riemann ζ-function regularization and Casimir energy for a piecewise uniform string. Physical Review D. July 1991, 44 (2): 560–562. doi:10.1103/PhysRevD.44.560. 

參見

• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·