普洛尼克數

在數學中，普洛尼克數（pronic number），也叫矩形數（oblong number），是兩個連續非負整數積，即 $n\times (n+1)$ 。第n個普洛尼克數都是n的三角形數的兩倍。開頭的幾個普洛尼克數是：

0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462, 506, 552, 600, 650, 702, 756, 812, 870, 930, 992, 1056, 1122, 1190, 1260, 1332, 1406, 1482, 1560, 1640, 1722, 1806, 1892, 1980, 2070, 2162, 2256, 2352, 2450, 2550, ...（OEIS數列A002378）

性質

普洛尼克數也可以表達成 $n^{2}+n$ 。
對於第n個普洛尼克數也正好等於頭n個偶數的和，也是第n個三角形數的兩倍。^[1]
普洛尼克數不可能是奇數，因為它必須為一偶數與奇數之積，而且是三角形數的兩倍。^[1]
普洛尼克數的數字根必為2、3、6、9。^{[註 1]}
普洛尼克數的末位數只可能是0、2、6。^{[註 2]}
除了0以外，普洛尼克數也不可能是平方數^{[註 3]}。
除了0以外，普洛尼克數也不可能是次方數。^{[來源請求]}^{[查證請求]}^{[原創研究？]}
除了6以外，普洛尼克數也不可能是完全數。^{[來源請求]}^{[查證請求]}^{[原創研究？]}
一個非負整數是普洛尼克數，若且唯若此數的4倍加1是平方數。^{[註 4]}
連續兩個普洛尼克數的平均是平方數。^{[註 5]}
顯然，2是唯一的一個素普洛尼克數，也是費氏數列中唯二的普洛尼克數（另一個是0）^[2]。

特殊的普洛尼克數

同時為普洛尼克數及三角形數的數（不定方程式 $x(x+1)={\frac {y(y+1)}{2}}$ ）：最小的幾個為0, 6, 210, 7140, 242556, 8239770,……^[3]^[4]，對應的 $x$ 值分別為0, 2, 14, 84, 492, 2870,……（OEIS數列A053141），對應的 $y$ 值分別為0, 3, 20, 119, 696, 4059,……（OEIS數列A001652）。

註釋

^
若n≡0 (mod 9)，則n×(n+1)≡0×1≡9 (mod 9)
- 若n≡1 (mod 9)，則n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 9)
- 若n≡2 (mod 9)，則n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 9)
- 若n≡3 (mod 9)，則n×(n+1)≡3×4≡12≡3 (mod 9)
- 若n≡4 (mod 9)，則n×(n+1)≡4×5≡20≡2 (mod 9)
- 若n≡5 (mod 9)，則n×(n+1)≡5×6≡30≡3 (mod 9)
- 若n≡6 (mod 9)，則n×(n+1)≡6×7≡42≡6 (mod 9)
- 若n≡7 (mod 9)，則n×(n+1)≡7×8≡56≡2 (mod 9)
- 若n≡8 (mod 9)，則n×(n+1)≡8×9≡72≡9 (mod 9)
故得證。
^
若n≡0 (mod 10)，則n×(n+1)≡0×1≡0 (mod 10)
- 若n≡1 (mod 10)，則n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 10)
- 若n≡2 (mod 10)，則n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 10)
- 若n≡3 (mod 10)，則n×(n+1)≡3×4≡12≡2 (mod 10)
- 若n≡4 (mod 10)，則n×(n+1)≡4×5≡20≡0 (mod 10)
- 若n≡5 (mod 10)，則n×(n+1)≡5×6≡30≡0 (mod 10)
- 若n≡6 (mod 10)，則n×(n+1)≡6×7≡42≡2 (mod 10)
- 若n≡7 (mod 10)，則n×(n+1)≡7×8≡56≡6 (mod 10)
- 若n≡8 (mod 10)，則n×(n+1)≡8×9≡72≡2 (mod 10)
- 若n≡9 (mod 10)，則n×(n+1)≡9×10≡90≡0 (mod 10)
故得證。
^ 因為n與(n+1)差1，所以兩數互質，故若n×(n+1)為平方數，則n與(n+1)也皆為平方數，2個平方數差1，則必為0與1，因此唯一的普洛尼克數兼平方數為0=0×1。
^ 普洛尼克數 n(n+1) 的4倍加1是4n²+4n+1 = (2n+1)²
^ 兩個相鄰的普洛尼克數 n(n+1) 和 (n+1)(n+2) 的平均是 (2n+2)(n+1)/2 = (n+1)²

參考資料

^ ^1.0 ^1.1 Knorr, Wilbur Richard（英語：Wilbur Knorr）, The evolution of the Euclidean elements, Dordrecht-Boston, Mass.: D. Reidel Publishing Co.: 144–150, 1975 [2021-03-18], ISBN 90-277-0509-7, MR 0472300, （原始內容存檔於2016-05-08） .
^ McDaniel, Wayne L., Pronic Fibonacci numbers (PDF), Fibonacci Quarterly, 1998, 36 (1): 56–59 [2017-05-26], MR 1605341, （原始內容存檔 (PDF)於2020-09-29）
^ Sloane, N.J.A. (編). Sequence A029549 (Triangular numbers that are also pronic numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
^ pronic numbers. NUMBERS APLENTY. [2021-02-05]. （原始內容存檔於2021-02-25）.

[2] 若n≡0 (mod 9)，則n×(n+1)≡0×1≡9 (mod 9)
若n≡1 (mod 9)，則n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 9)

若n≡2 (mod 9)，則n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 9)

若n≡3 (mod 9)，則n×(n+1)≡3×4≡12≡3 (mod 9)

若n≡4 (mod 9)，則n×(n+1)≡4×5≡20≡2 (mod 9)

若n≡5 (mod 9)，則n×(n+1)≡5×6≡30≡3 (mod 9)

若n≡6 (mod 9)，則n×(n+1)≡6×7≡42≡6 (mod 9)

若n≡7 (mod 9)，則n×(n+1)≡7×8≡56≡2 (mod 9)

若n≡8 (mod 9)，則n×(n+1)≡8×9≡72≡9 (mod 9)
故得證。

[2] 若n≡1 (mod 9)，則n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 9)

[3] 若n≡2 (mod 9)，則n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 9)

[4] 若n≡3 (mod 9)，則n×(n+1)≡3×4≡12≡3 (mod 9)

[5] 若n≡4 (mod 9)，則n×(n+1)≡4×5≡20≡2 (mod 9)

[6] 若n≡5 (mod 9)，則n×(n+1)≡5×6≡30≡3 (mod 9)

[7] 若n≡6 (mod 9)，則n×(n+1)≡6×7≡42≡6 (mod 9)

[8] 若n≡7 (mod 9)，則n×(n+1)≡7×8≡56≡2 (mod 9)

[9] 若n≡8 (mod 9)，則n×(n+1)≡8×9≡72≡9 (mod 9)

[3] 若n≡0 (mod 10)，則n×(n+1)≡0×1≡0 (mod 10)
若n≡1 (mod 10)，則n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 10)

若n≡2 (mod 10)，則n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 10)

若n≡3 (mod 10)，則n×(n+1)≡3×4≡12≡2 (mod 10)

若n≡4 (mod 10)，則n×(n+1)≡4×5≡20≡0 (mod 10)

若n≡5 (mod 10)，則n×(n+1)≡5×6≡30≡0 (mod 10)

若n≡6 (mod 10)，則n×(n+1)≡6×7≡42≡2 (mod 10)

若n≡7 (mod 10)，則n×(n+1)≡7×8≡56≡6 (mod 10)

若n≡8 (mod 10)，則n×(n+1)≡8×9≡72≡2 (mod 10)

若n≡9 (mod 10)，則n×(n+1)≡9×10≡90≡0 (mod 10)
故得證。

[11] 若n≡1 (mod 10)，則n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 10)

[12] 若n≡2 (mod 10)，則n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 10)

[13] 若n≡3 (mod 10)，則n×(n+1)≡3×4≡12≡2 (mod 10)

[14] 若n≡4 (mod 10)，則n×(n+1)≡4×5≡20≡0 (mod 10)

[15] 若n≡5 (mod 10)，則n×(n+1)≡5×6≡30≡0 (mod 10)

[16] 若n≡6 (mod 10)，則n×(n+1)≡6×7≡42≡2 (mod 10)

[17] 若n≡7 (mod 10)，則n×(n+1)≡7×8≡56≡6 (mod 10)

[18] 若n≡8 (mod 10)，則n×(n+1)≡8×9≡72≡2 (mod 10)

[19] 若n≡9 (mod 10)，則n×(n+1)≡9×10≡90≡0 (mod 10)

[4] 因為n與(n+1)差1，所以兩數互質，故若n×(n+1)為平方數，則n與(n+1)也皆為平方數，2個平方數差1，則必為0與1，因此唯一的普洛尼克數兼平方數為0=0×1。

[5] 普洛尼克數 n(n+1) 的4倍加1是4n²+4n+1 = (2n+1)²

[6] 兩個相鄰的普洛尼克數 n(n+1) 和 (n+1)(n+2) 的平均是 (2n+2)(n+1)/2 = (n+1)²

[knorr-1] 1.0 ^1.1 Knorr, Wilbur Richard（英語：Wilbur Knorr）, The evolution of the Euclidean elements, Dordrecht-Boston, Mass.: D. Reidel Publishing Co.: 144–150, 1975 [2021-03-18], ISBN 90-277-0509-7, MR 0472300, （原始內容存檔於2016-05-08） .

[7] McDaniel, Wayne L., Pronic Fibonacci numbers (PDF), Fibonacci Quarterly, 1998, 36 (1): 56–59 [2017-05-26], MR 1605341, （原始內容存檔 (PDF)於2020-09-29）

[8] Sloane, N.J.A. (編). Sequence A029549 (Triangular numbers that are also pronic numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[9] ronic numbers. NUMBERS APLENTY. [2021-02-05]. （原始內容存檔於2021-02-25）.

[1]

[註 1]

[註 2]

[註 3]

[註 4]

[註 5]

[2]

[3]

[4]

閱論編有形數
多邊形數	三角形數四邊形數五邊形數六邊形數七邊形數八邊形數九邊形數十邊形數十二邊形數
多面體數	四面體數六面體數八面體數
錐體數	三角錐數四角錐數五角錐數六角錐數七角錐數
中心多邊形數	中心三角形數中心四邊形數中心五邊形數中心六邊形數中心七邊形數中心十二邊形數
中心多面體數	中心四面體數中心六面體數中心八面體數
多胞體數	1-多胞體數 2-多胞體數 3-多胞體數 4-多胞體數
星數	五角星數六角星數七角星數八角星數六角星質數
其他有形數	平方數立方數四次方數五次方數六次方數三角平方數梯形數普洛尼克數
其他	費馬多邊形數定理四平方和定理五邊形數定理

閱論編和因數有關的整數分類
簡介	質因數分解因數元因數除數函數質因數算術基本定理
依因數分解分類	質數合數半質數普洛尼克數楔形數無平方數因數的數冪數質數冪平方數立方數次方數阿喀琉斯數光滑數正規數粗糙數不尋常數
依因數和分類	完全數殆完全數准完全數多重完全數 Hemiperfect數 Hyperperfect number（英語：Hyperperfect number）超完全數元完全數半完全數本原半完全數實際數
有許多因數	過剩數本原過剩數高過剩數超過剩數可羅薩里過剩數高合成數 Superior highly composite number（英語：Superior highly composite number）奇異數
和真因子和數列有關	不可及數相親數交際數婚約數
其他	虧數友誼數孤獨數卓越數歐爾調和數佩服數節儉數等數位數奢侈數