態向量

在量子力學裏，一個量子系統的量子態可以抽象地用態向量來表示。態向量存在於內積空間。定義內積空間為增添了一個額外的內積結構的向量空間。態向量滿足向量空間所有的公理。態向量是一種特殊的向量，它也允許內積的運算。態向量的範數是1，是一個單位向量。標記量子態$\psi \,\!$的態向量為$|\psi \rangle \,\!$。

每一個內積空間都有單範正交基。態向量是單範正交基的所有基向量的線性組合：

$|\psi \rangle =c_{1}|e_{1}\rangle +c_{2}|e_{2}\rangle +\dots +c_{n}|e_{n}\rangle \,\!$；

其中，$|e_{1}\rangle ,\,|e_{2}\rangle ,\,\dots ,\,|e_{n}\rangle \,\!$是單範正交基的基向量，$n\,\!$是單範正交基的基數，$c_{1},\,c_{2},\,\dots ,\,c_{n}\,\!$是複值的系數，是$|\psi \rangle \,\!$的分量，$c_{i}\,\!$是$|\psi \rangle \,\!$投射於基向量$|e_{i}\rangle \,\!$的分量，也是$|\psi \rangle \,\!$處於$|e_{i}\rangle \,\!$的機率幅。

換一種方法表達：

$|\psi \rangle =(c_{1},\,c_{2},\,\dots ,\,c_{n})^{T}={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}\,\!$。

在狄拉克標記方法裏，態向量$|\psi \rangle \,\!$稱為括量。對應的包量為$\langle \psi |\,\!$，是括量的厄米共軛，用方程式表達為

$\langle \psi |=|\psi \rangle ^{\dagger }=(c_{1}^{*},\,c_{2}^{*},\,\dots ,\,c_{n}^{*})\,\!$；

其中，$\dagger \,\!$象徵為取厄米共軛。

設定兩個態向量$|\alpha \rangle =(a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n})^{T}\,\!$，$|\beta \rangle =(b_{1},\,b_{2},\,\dots ,\,b_{n})^{T}\,\!$。定義$|\alpha \rangle \,\!$內積$|\beta \rangle \,\!$為

$\langle \alpha |\beta \rangle =\sum _{i}\ a_{i}^{*}b_{i}\,\!$。

這內積的結果是一個複數。

性質

1）共軛複數

$|\beta \rangle \,\!$內積$|\alpha \rangle \,\!$是$|\alpha \rangle \,\!$內積$|\beta \rangle \,\!$的共軛複數：

$\langle \beta |\alpha \rangle =\langle \alpha |\beta \rangle ^{*}\,\!$。

2）歸一性

定義$|\alpha \rangle \,\!$內積$|\alpha \rangle \,\!$的平方根為$|\alpha \rangle \,\!$的範數，標記為$|\alpha |\,\!$。由於態向量滿足歸一性，態向量的範數必定等於1：

$|\alpha |={\sqrt {\langle \alpha |\alpha \rangle }}=1\,\!$。

3）柯西-施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨不等式闡明：

$\langle \alpha |\beta \rangle ^{2}\leq \langle \alpha |\alpha \rangle \langle \beta |\beta \rangle \,\!$。

參考文獻

費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修. 費曼物理學講義III (2)量子力學應用. 台灣: 天下文化書. 2006: pp. 10–17. ISBN 986-417-672-2.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)