在域 F 中,向量空間 V 的雙線性形式指的是一個V × V → F 上的線性函數 B, 滿足:
,映射:
![{\displaystyle w\mapsto B(v,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f6fd00ae72cc3b6e316c6dc0ff89079aa406c8d)
![{\displaystyle w\mapsto B(w,v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52ab7403589e6b534e3112e34495adbe6a3e882)
都是線性的。這個定義也適用於交換環的模,這時線性函數要改為模同態。
注意一個雙線性形式是特別的雙線性映射。
如果V是n維向量空間,設
是V的一組基。定義
階的矩陣A使得
。當
的矩陣x和y表示向量u及v時,雙線性形式B可表示為:
![{\displaystyle B(u,v)=\mathbf {u} ^{T}\mathbf {Bv} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92ee109f5636be36069ea77038edde6e0ccbe3d6)
考慮另一組基
,其中S是一個可逆的
階矩陣(基底轉換矩陣),則雙線性形式在
下的矩陣
的形式為:
![{\displaystyle A'=S^{T}\cdot A\cdot S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b814569af9a1b1b31db098070602dd9fbf0ae9d)
V的每一個雙線性形式B都定義了一對由V射到它的對偶空間V*的線性函數。
定義
:
![{\displaystyle B_{1}(v)(w)=B(v,w)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737815bb46ad7e1742979be4683af48afba24c3d)
![{\displaystyle B_{2}(v)(w)=B(w,v)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59134386df9b685da90434ea5ce4d07db7c3f042)
常常記作:
![{\displaystyle B_{1}(v)=B(v,{-})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35411082f6feb16d50c9391d168a88d39a142609)
![{\displaystyle B_{2}(v)=B({-},v)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78123723cb074d0a908c4835f636bf02a0724ff3)
這裏的(–)是放變量的位置。
如果 V是有限維空間的話,V和它的雙對偶空間V**是同構的,這時B2是B1 的轉置映射(如果V是無限維空間,B2限制在V在V**的像下的部分是B1 的轉置映射)。 定義B的轉置映射為雙線性形式:
![{\displaystyle B^{*}(v,w)=B(w,v).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7b5fd74261b8b366e435e93d2e2433acd2a7c88)
如果 V是有限維空間,B1 及B2 的秩相等。如果他們的秩等於V的維數的話,B1 和 B2 就是由V到V*的同構映射(顯然B1是同構若且唯若B2 是同構),此時,B是非退化的。實際上在有限維空間裏,這常常作為非退化的定義:B是非退化的若且唯若
![{\displaystyle (\forall w,B(v,w)=0)\Rightarrow v=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f7176b53eb72068b5ebdd6fdc0df8352714165f)
雙線性形式 B : V × V → F 是鏡像對稱的若且唯若:
![{\displaystyle B(v,w)=0\Longleftrightarrow B(w,v)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e49138119a7504314589fb104d36f142b5249d12)
- 有了鏡像對稱性,就可以定義正交:兩個向量v和w關於一個鏡像對稱的雙線性形式正交若且唯若:
。
- 一個雙線性形式的根是指與所有其他向量都正交的向量的集合。一個矩陣表示為x的向量v屬於雙線性形式的根若且唯若
(等價於
),根一般是V的子空間,
當A是非奇異矩陣,即當B是非退化時,根都是零子空間{0}。
設W是一個子空間,定義
。
當B是非退化時,映射
是雙射,所以
的維數等於dim(V)-dim(W)。
可以證明,雙線性形式B是鏡像對稱的若且唯若它是以下兩者之一:
- 對稱的:
![{\displaystyle \forall v,w\in V\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a050e96ce26ac500ebd2d5a96b899c02d538b88)
- 交替(alternating)的:
![{\displaystyle \forall v\in V\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e667714b8d66297b6c78808b8800d84e6464e693)
每個交替形式都是斜對稱(skew-symmetric)(或稱反對稱(antisymmetric))的,只要展開
- B(v+w,v+w)就可看出。
當F的特徵不為2時,逆命題也是真的。斜對稱的形式必定交替。然而,當char(F)=2時,斜對稱就是對稱,因此不全是交替的。
一個雙線性形式是對稱的(反對稱的)若且唯若它對應的矩陣是對稱的(反對稱的)。一個雙線性形式是交替的若且唯若它對應的矩陣是反對稱的,且主對角線上都是零。(在F的特徵不為2時的情況下)
一個雙線性形式是對稱的若且唯若
相等,是旋鈕對稱的若且唯若
。char(F) ≠ 2 時,一個雙線性形式可以按成對稱和反對稱部分分解:
![{\displaystyle B^{\pm }={1 \over 2}(B\pm B^{*})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ba3b040872dc723db5a5a39dca00edb45031127)
其中B* 是B 的轉置映射。
這套理論有很大一部份可推廣到雙線性映射的情形:
- B: V × W → F.
此時仍有從 V 到 W 的對偶、及從 W 到 V 的對偶的映射。當 V, W 皆有限維,則只要其中之一是同構,另一個映射也是同構。在此情況下 B 稱作完美配對。
由張量積的泛性質,
上的雙線性形式一一對映至線性映射
:若
是
上的雙線性形,則相應的映射由下式給出
![{\displaystyle v\otimes w\mapsto B(v,w).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d26ae9ed5f46b0628f3eb546a721fd10dc051a13)
所有從
到
的線性映射構成
的對偶空間,此時雙線性形式遂可視為下述空間的元素:
![{\displaystyle (V\otimes V)^{*}\cong V^{*}\otimes V^{*}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1367cda660aef966ca46b3c092284e60c32f5eb)
同理,對稱雙線性形式可想成二次對稱冪 S2V* 的元素,而交代雙線性形式則可想成二次外冪 Λ2V* 的元素。