在域 F 中,向量空間 V 的雙線性形式指的是一个V × V → F 上的线性函数 B, 满足:
,映射:
![{\displaystyle w\mapsto B(v,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f6fd00ae72cc3b6e316c6dc0ff89079aa406c8d)
![{\displaystyle w\mapsto B(w,v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52ab7403589e6b534e3112e34495adbe6a3e882)
都是线性的。這個定義也適用於交換環的模,这时线性函数要改为模同态。
注意一個雙線性形式是特別的双线性映射。
如果V是n維向量空間,设
是V的一组基。定义
阶的矩阵A使得
。当
的矩阵x和y表示向量u及v时,双线性形式B可表示为:
![{\displaystyle B(u,v)=\mathbf {u} ^{T}\mathbf {Bv} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92ee109f5636be36069ea77038edde6e0ccbe3d6)
考虑另一组基
,其中S是一个可逆的
阶矩阵(基底转换矩阵),则双线性形式在
下的矩阵
的形式为:
![{\displaystyle A'=S^{T}\cdot A\cdot S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b814569af9a1b1b31db098070602dd9fbf0ae9d)
V的每一個雙線性形式B都定義了一對由V射到它的对偶空间V*的線性函数。
定义
:
![{\displaystyle B_{1}(v)(w)=B(v,w)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737815bb46ad7e1742979be4683af48afba24c3d)
![{\displaystyle B_{2}(v)(w)=B(w,v)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59134386df9b685da90434ea5ce4d07db7c3f042)
常常記作:
![{\displaystyle B_{1}(v)=B(v,{-})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35411082f6feb16d50c9391d168a88d39a142609)
![{\displaystyle B_{2}(v)=B({-},v)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78123723cb074d0a908c4835f636bf02a0724ff3)
這裡的(–)是放变量的位置。
如果 V是有限维空间的话,V和它的雙对偶空間V**是同构的,这时B2是B1 的轉置映射(如果V是无限维空间,B2限制在V在V**的像下的部分是B1 的轉置映射)。 定義B的轉置映射為雙線性形式:
![{\displaystyle B^{*}(v,w)=B(w,v).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7b5fd74261b8b366e435e93d2e2433acd2a7c88)
如果 V是有限维空间,B1 及B2 的秩相等。如果他们的秩等于V的維数的话,B1 和 B2 就是由V到V*的同构映射(显然B1是同构当且仅当B2 是同构),此时,B是非退化的。实际上在有限维空间里,这常常作为非退化的定义:B是非退化的当且仅当
![{\displaystyle (\forall w,B(v,w)=0)\Rightarrow v=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f7176b53eb72068b5ebdd6fdc0df8352714165f)
雙線性形式 B : V × V → F 是镜像對稱的当且仅当:
![{\displaystyle B(v,w)=0\Longleftrightarrow B(w,v)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e49138119a7504314589fb104d36f142b5249d12)
- 有了镜像對稱性,就可以定义正交:两个向量v和w关于一个镜像對稱的双线性形式正交当且仅当:
。
- 一个双线性形式的根是指与所有其他向量都正交的向量的集合。一个矩阵表示为x的向量v属于双线性形式的根当且仅当
(等价于
),根一般是V的子空间,
当A是非奇异矩阵,即当B是非退化时,根都是零子空间{0}。
设W是一个子空间,定义
。
当B是非退化时,映射
是双射,所以
的维数等于dim(V)-dim(W)。
可以证明,雙線性形式B是镜像對稱的当且仅当它是以下两者之一:
- 對稱的:
![{\displaystyle \forall v,w\in V\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a050e96ce26ac500ebd2d5a96b899c02d538b88)
- 交替(alternating)的:
![{\displaystyle \forall v\in V\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e667714b8d66297b6c78808b8800d84e6464e693)
每个交替形式都是斜对称(skew-symmetric)(或称反对称(antisymmetric))的,只要展开
- B(v+w,v+w)就可看出。
当F的特征不为2时,逆命题也是真的。斜对称的形式必定交替。然而,当char(F)=2时,斜对称就是对称,因此不全是交替的。
一个双线性形式是对称的(反对称的)当且仅当它对应的矩阵是对称的(反对称的)。一个双线性形式是交替的当且仅当它对应的矩阵是反对称的,且主对角线上都是零。(在F的特征不为2时的情况下)
一个双线性形式是对称的当且仅当
相等,是旋钮对称的当且仅当
。char(F) ≠ 2 时,一个双线性形式可以按成对称和反对称部分分解:
![{\displaystyle B^{\pm }={1 \over 2}(B\pm B^{*})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ba3b040872dc723db5a5a39dca00edb45031127)
其中B* 是B 的转置映射。
這套理論有很大一部份可推廣到雙線性映射的情形:
- B: V × W → F.
此時仍有從 V 到 W 的對偶、及從 W 到 V 的對偶的映射。當 V, W 皆有限維,則只要其中之一是同構,另一個映射也是同構。在此情況下 B 稱作完美配對。
由張量積的泛性質,
上的雙線性形式一一對映至線性映射
:若
是
上的雙線性形,則相應的映射由下式給出
![{\displaystyle v\otimes w\mapsto B(v,w).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d26ae9ed5f46b0628f3eb546a721fd10dc051a13)
所有從
到
的線性映射構成
的對偶空間,此時雙線性形式遂可視為下述空間的元素:
![{\displaystyle (V\otimes V)^{*}\cong V^{*}\otimes V^{*}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1367cda660aef966ca46b3c092284e60c32f5eb)
同理,對稱雙線性形式可想成二次對稱冪 S2V* 的元素,而交代雙線性形式則可想成二次外冪 Λ2V* 的元素。